Рационални изрази

[Гост]

Здравейте!Може ли да ми помогнете с тези задачи?Предварително много ви благодаря!

[ammornil]

[tex]x^{2}+\frac{4}{x^{2}}=23-6x-\frac{12}{x}[/tex]
[tex]\text{ДМ}: x \ne 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (0;+\infty)[/tex]
[tex]\hspace{5em} \left(x+\frac{2}{x} \right)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{2}{x}+\left(\frac{2}{x} \right)^{2}=x^{2}+\frac{4}{x^{2}}+4 \Rightarrow x^{2}+\frac{4}{x^{2}}= \left(x-\frac{2}{x} \right)^{2}-4[/tex]
[tex]\left(x+\frac{2}{x} \right)^{2}-4 = 23-6\left( x+\frac{2}{x} \right)[/tex]
[tex]x+\frac{2}{x}=u \Rightarrow u^{2}-4-23+6u=0 \Leftrightarrow u^{2}+6u-27=0 \Rightarrow u_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{(3)^{2}-1\cdot (-27)}}{1}=-3\pm6 \rightarrow \begin{cases} u_{1}=-9 \\ u_{2}=3 \end{cases}[/tex]
[tex]x+\frac{2}{x}=-9 \Leftrightarrow x^{2}+9x+2=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{-9\pm\sqrt{9^{2}-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{-9\pm6\sqrt{2}}{2} \in \text{ДМ}[/tex]
[tex]x+\frac{2}{x}=3 \Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0 \Rightarrow x_{3,4}=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{-3\pm1}{2} \in \text{ДМ}[/tex]
$$ x_{1}= \frac{-3\cdot (3+2\sqrt{2})}{2}, \hspace{1em} x_{2}=\frac{-3\cdot (3-2\sqrt{2})}{2}, \hspace{1em} x_{3}=-2, \hspace{1em} x_{4}=-1 $$

[ammornil]

[tex]\left(\frac{1}{x^{2}+2\cdot{x}\cdot{2x}+2^{2}}-\frac{3}{x\cdot (x+2)}+\frac{2}{x^{2}} \right)\div \frac{x^{2}+2\cdot{x}-8}{x\cdot (x^{2}-4)}[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]x^{2}+2\cdot{x}-8=0 \rightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{1}=-1\pm3 \begin{cases} x=-4 \\ x=2 \end{cases}[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\text{ДМ}: \begin{array}{|l} x^{2}+2\cdot{x}\cdot{2x}+2^{2} \ne0 \\ x\cdot (x+2) \ne 0 \\ x^{2} \ne 0 \\ x\cdot (x^{2}-4) \ne 0 \\ \frac{\normalsize{x^{2}+2\cdot{x}-8}}{\normalsize{x\cdot (x^{2}-4)}} \ne 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} (x+2)^{2} \ne0 \\ x\cdot (x+2) \ne 0 \\ x^{2} \ne 0 \\ x\cdot (x-2)\cdot (x+2) \ne 0 \\ x^{2}+2\cdot{x}-8 \ne 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x \ne -2 \\ x \ne 0 \cup x \ne -2 \\ x \ne 0 \\ x \ne 0 \cup x \ne 2 \cup x \ne -2 \\ x \ne -4 \cup x \ne 2 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\hspace{6em} \Rightarrow x \in (-\infty;-4)\cup(-4;-2)\cup(-2;0)\cup(0;+2)\cup(+2;+\infty)[/tex]

[tex]\underbrace{\left(\frac{1}{(x+2)^{2}}-\frac{3}{x\cdot (x+2)}+\frac{2}{x^{2}} \right)}_{\normalsize{x^{2}\cdot (x+2)^{2}}}\cdot \frac{x\cdot (x+2)\cdot (x-2)}{(x+4)\cdot (x-2)}=[/tex]

[tex]=\frac{1\cdot x^{2}-3\cdot x\cdot (x+2)+2\cdot (x+2)^{2}}{x^{2}\cdot (x+2)^{2}}\cdot \frac{x\cdot (x+2)}{x+4}=[/tex]

[tex]=\frac{x^{2}-3\cdot x^{2}-6\cdot x+2\cdot (x^{2}+4\cdot x+4)}{x\cdot (x+2)\cdot (x+4)}=\frac{x^{2}-3\cdot x^{2}-6\cdot x+2\cdot x^{2}+8\cdot x+8}{x\cdot (x+2)\cdot (x+4)}=[/tex]

[tex]=\frac{2\cdot (x+4)}{x\cdot (x+2)\cdot (x+4)}=\frac{2}{x\cdot (x+2)}[/tex]

[Гост]

Корените не са ли 1 и 2 и [tex]\frac{-9- \sqrt{73} }{2}[/tex] и [tex]\frac{-9+ \sqrt{73} }{2}[/tex] ?

[ammornil]

Корените не са ли 1 и 2 и [tex]\frac{-9- \sqrt{73} }{2}[/tex] и [tex]\frac{-9+ \sqrt{73} }{2}[/tex] ?

Да, прав(а) сте. 81-8=73 а не 72, и няма минус пред тройката за втората група корени. Моля да ме извините.

...
[tex]\left(x+\frac{2}{x} \right)^{2}-4 = 23-6\left( x+\frac{2}{x} \right)[/tex]
[tex]x+\frac{2}{x}=u \Rightarrow u^{2}-4-23+6u=0 \Leftrightarrow u^{2}+6u-27=0 \Rightarrow u_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{(3)^{2}-1\cdot (-27)}}{1}=-3\pm6 \rightarrow \begin{cases} u_{1}=-9 \\ u_{2}=3 \end{cases}[/tex]
[tex]x+\frac{2}{x}=-9 \Leftrightarrow x^{2}+9x+2=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{-9\pm\sqrt{9^{2}-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{-9\pm\sqrt{73}}{2} \in \text{ДМ}[/tex]
[tex]x+\frac{2}{x}=3 \Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0 \Rightarrow x_{3,4}=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm1}{2} \in \text{ДМ}[/tex]
$$ x_{1}= \frac{-9-\sqrt{73}}{2}, \hspace{1em} x_{2}=\frac{-9+\sqrt{73}}{2}, \hspace{1em} x_{3}=2, \hspace{1em} x_{4}=1 $$