Дробно уравнение с параметър k

[Matty_23]

Да се намерят стойностите на k , при които уравнението (x^2+x+2)/(3x+1)=k има решение,

Може ли съдействие при решаването му? Благодаря!

[S.B.]

Да се намерят стойностите на k , при които уравнението (x^2+x+2)/(3x+1)=k има решение,

Може ли съдействие при решаването му? Благодаря!

[tex]\frac{ x^{2 } + x + 2}{3x + 1} = k[/tex]
Преди всичко [tex]x \ne - \frac{1}{3}[/tex]
За [tex]k = 0 \Rightarrow \frac{ x^{2 } + x + 2 }{3x + 1} = 0 \Leftrightarrow x^{2 } + x + 2 = 0 ,D = -7<0 \Rightarrow[/tex] няма решение
Нека [tex]k \ne 0[/tex]
[tex]\frac{ x^{2 } + x + 2 }{3x + 1} = 0 \Leftrightarrow x^{2 } + x + 2 = k( 3x + 1) \Leftrightarrow x^{2 } + (1 - 3k) x + 2 - k = 0[/tex]
За да има решение трябва [tex]D \ge 0[/tex]
[tex]D = (1 - 3k)^{2 } - 4(2 - k) \Leftrightarrow D = 9 k^{2 } - 2k - 7 \ge 0 .....\Rightarrow D = (k - 1)(k + \frac{7}{9}) \ge 0[/tex]
По метода на интервалите:
[tex]k \in ( - \infty ; - \frac{7}{9}] \cup [1 ; + \infty )[/tex]

[nikola.topalov]

Качвам и друг начин: Нека [tex]f(x):=\dfrac{x^{2}+x+2}{3x+1}[/tex]. Първата производна [tex]f'(x)=\dfrac{3x^2+2x-5}{(3x+1)^2}[/tex] се анулира в точките [tex]x=-5/3[/tex] и [tex]x=1[/tex]. Имаме, че [tex]f(x)[/tex] е растяща в [tex](-\infty,-5/3)\cup(1,+\infty)[/tex] и е намаляваща в [tex](-5/3,-1/3)\cup(-1/3,1)[/tex]. Понеже [tex]g(x):=k[/tex] е функция, успоредна на абсцисната ос, то уравнението [tex]f(x)=g(x)[/tex] ще има решение тогава и само тогава, когато графиките на двете функции се пресичат. Това ще бъде удовлетворено за [tex]k\in(-\infty, f(-5/3))\cup(f(1),+\infty)[/tex].

[Гост]

Много благодаря за подробните решения, изключително полезна ми е помощта ви! Избрах първия вариант, по-лесен ми е .