Да се докаже

[Гост]

Да се докаже, че за всяко реално число к
Уравнението
[tex]\frac{ x^{2 } +х-1}{ x^{2 } +3х+2}[/tex] =к
Има поне един корен.



Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

$\frac{ x^2 +x-1}{ x^2 +3x+2} =k$

ДМ: $x\ne -1; x\ne -2$

$x^2 +x-1=k( x^2 +3x+2)$

$(k-1)x^2+(3k-1)x+2k+1=0$

$1.~~k=1$, $x=-\frac 32\in$ ДМ

$2.~~k\ne 1\Rightarrow (k-1)x^2+(3k-1)x+2k+1=0;$

$~~D=9k^2-6k+1-4(k-1)(2k+1)=9k^2-6k+1-8k^2+4k+4=k^2-2k+1+4=(k-1)^2+4>0$

След като дискриминантата е положителна за $\forall k$, то квадратното уравнение винаги има решение.