уравнение са реален параметър

[Гост]

Дадено е уравнението [tex]x^{2 }-2px-\frac{1}{2p^{2}}=0[/tex], където p е реален параметър. Ако x1 и x2 са корени на даденото уравнение, да се докаже, че [tex]x_{1 }^{4}+x_{2}^{4} \ge 4 \sqrt{2} + 8[/tex].

[Евва]

р[tex]\ne[/tex]0 ,защото участва в знаменател
Очевидно става въпрос за формулите на Виет .
Ще изразим [tex]x_{1 } ^{4 } + x_{2 } ^{4 }[/tex] чрез [tex]x_{1 } +x_{2 }[/tex] и [tex]x_{1 } x_{2 }[/tex] .

[tex]x_{1 } ^{4 } + x_{2 } ^{4 }[/tex]= [tex]( x_{1 }^{2}+ x_{2 } ^{2 }) ^{2 }[/tex] -2[tex]x_{1 } ^{2 } x_{2 } ^{2 }[/tex]=

= [tex][ ( x_{1 }+ x_{2 } )^{2 } -2 x_{1 } x_{2 } ]^{2 }[/tex] -2[tex]x_{1 } ^{2 } x_{2 } ^{2 }[/tex]=

=[tex]( x_{1 }+ x_{2 }) ^{4 }[/tex] +4[tex]x_{1 } ^{2 } x_{2 } ^{2 }[/tex] -4[tex]x_{1 } x_{2 }[/tex][tex]( x_{1 } + x_{2 } )^{2 }[/tex] -2[tex]x_{1 } ^{2 }x_{2 } ^{2 }[/tex] =

=[tex](x_{1 } + x_{2 }) ^{4 }[/tex] +2[tex]x_{1 } ^{2 }x_{2 } ^{2 }[/tex] -4[tex]x_{1 } x_{2 }[/tex][tex]( x_{1 }+ x_{2 }) ^{2 }[/tex]=

=[tex](2p)^{4 }[/tex]+2.[tex]\frac{1}{4 p^{4 } }[/tex] -4[tex]( - \frac{1}{2 p^{2 } }[/tex]).4[tex]p^{2 }[/tex]

Получихме [tex]x_{1 } ^{4 }+ x_{2 } ^{4 }[/tex] =16[tex]p^{4 }[/tex] +[tex]\frac{1}{2 p^{4 } }[/tex]+8

16[tex]p^{4 }[/tex] +[tex]\frac{1}{2 p^{4 } }[/tex] +8 [tex]\ge[/tex] ? 4[tex]\sqrt{2}[/tex]+8 |.2[tex]p^{4 }[/tex]>0

32[tex]p^{8 }[/tex] -8[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]p^{4 }[/tex]+1 [tex]\ge[/tex]? 0

[tex](4 \sqrt{2} p^{4 } ) ^{2 }[/tex] -2(4[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]p^{4 }[/tex]).1 +[tex]1^{2 }[/tex] [tex]\ge[/tex] ? 0

[tex](4 \sqrt{2} p^{4 } -1) ^{2 }[/tex] [tex]\ge[/tex] ? 0

Очевидно точният квадрат е [tex]\ge[/tex] 0 .