уравнение с параметър m

[Гост]

Кои са стойностите на m, зa коитo урaвнeниетo 2(m²-1)x²+4(m-1)x+3=0 няма рeaлни кoрeни?

[ammornil]

Кои са стойностите на m, зa коитo урaвнeниетo 2(m²-1)x²+4(m-1)x+3=0 няма рeaлни кoрeни?

[tex](x_{1}, x_{2}) \notin \mathbb{R} \Rightarrow D<0 \Rightarrow [2(m-1)]^{2}-2(m^{2}-1)\cdot{3} < 0 \cdots[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]4(m^{2}-2m+1)-6(m^{2}-1)<0 \Leftrightarrow 4m^{2}-8m+4-6m^{2}+6 < 0 \Leftrightarrow -2m^{2}-8m+10<0 |\div (-2) \Leftrightarrow m^{2}+4m-5>0 \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow m_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{2^{2}-1\cdot{(-5)}}}{1} = -2\pm \sqrt{10} \rightarrow [m-(-2- \sqrt{10})][m-(-2+ \sqrt{10})]>0[/tex]
$$m \in (-\infty;-2- \sqrt{10}) \cup (-2+ \sqrt{10}; +\infty)$$

[S.B.]

Кои са стойностите на m, зa коитo урaвнeниетo 2(m²-1)x²+4(m-1)x+3=0 няма рeaлни кoрeни?

$$2( m^{2 } - 1) x^{2 } + 4(m - 1)x +3 =0 $$
За да няма реални корени,трябва да е изпълнено:

$$\begin{array}{|l} a \ne 0\\ D < 0 \end{array}$$

[tex]\begin{array}{|l} 2( m^{2 } - 1) \ne 0 \\ 16(m- 1)^{2 } -24( m^{2 } - 1) <0\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m \ne \pm 1\\ 2 (m-1)^{2 } - 3( m^{2 } - 1) < 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} m \ne \pm 1\\ (m - 1)(-m - 5) < 0 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} m \ne \pm1 \\ (m - 1)(m + 5)> 0 \end{array}[/tex]

$$ \Rightarrow m \in (- \infty ; - 5) \cup (1 ; + \infty )$$

[ptj]

[tex]f(x)=2(m^2-1)x^2+4(m-1)x+3=0[/tex]

Понеже графиката на квадратното уравнение е парабола с връх в [tex]\frac{-b}{2a}= -\frac{4(m-1)}{2.2(m^2-1)}= \frac{-1}{m+1}[/tex],

то всички стойности на [tex]f(x)[/tex] са или над, или под [tex]f( \frac{-b}{2a})=f( \frac{-1}{m+1})[/tex].

В конкретния случай [tex]f(0)=3>0[/tex], т.е. [tex]f(x)=0[/tex] няма решение точно когато [tex]f( \frac{-b}{2a} )=f( \frac{-1}{m+1})>0[/tex]. (цялата графика е над абцисната ос)


[tex]f( \frac{-1}{m+1} )= \frac{2(m^2-1)}{(m+1)^2}+ \frac{-4(m-1)}{m+1} +3>0[/tex]


[tex]\frac{m-1}{m+1}< \frac{3}{2} \Leftrightarrow -5< m<-1[/tex]


П.П. Вероятно имам техническа грешка, защото трябва да се получи решението на S.B.

[pal702004]

При $m=1$ уравнението също няма реални (никакви) корени.

[grav]

За да няма реални корени,трябва да е изпълнено:

$$\begin{array}{|l} a \ne 0\\ D < 0 \end{array}$$

Възможно ли е [tex]D<0[/tex] при [tex]a=0[/tex]?

[S.B.]

За да няма реални корени,трябва да е изпълнено:

$$\begin{array}{|l} a \ne 0\\ D < 0 \end{array}$$

Възможно ли е [tex]D<0[/tex] при [tex]a=0[/tex]?

нека е дадено уравнението:
[tex]a x^{2 } + bx + c = 0[/tex]
ако $a = 0$ то се превръща в линейно:
[tex]bx + c = 0 \Rightarrow bx = - c[/tex]
за [tex]b \ne 0 , x = -\frac{c}{b}[/tex]
Но ако [tex]a \ne 0[/tex], тогава трябва $D < 0$
Това съм имала предвид.
Не трябваше да ги обединявам .

[ammornil]

Аз пък съм събрал 4 + 5 и съм получил 10

[tex](x_{1}, x_{2}) \notin \mathbb{R} \Rightarrow D<0 \Rightarrow [2(m-1)]^{2}-2(m^{2}-1)\cdot{3} < 0 \cdots[/tex]

[tex]4(m^{2}-2m+1)-6(m^{2}-1)<0 \Leftrightarrow 4m^{2}-8m+4-6m^{2}+6 < 0 \Leftrightarrow -2m^{2}-8m+10<0 |\div (-2) \Leftrightarrow m^{2}+4m-5>0 \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow m_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{2^{2}-1\cdot{(-5)}}}{1} = -2\pm \sqrt{9} \rightarrow [m-(-5)][m-1]>0[/tex]
$$m \in (-\infty;-5) \cup (1; +\infty)$$

[pal702004]

И продължаваме да слагаме неправилните скобки...