Функция

[Гост]

да се определят точките на прекъсване на функцията [tex]f(x) = \frac{x^2 -3|x-1|-3}{x-3}[/tex]

Може ли функцията да бъде додефинирана така, че да бъде непрекъсната в тези точки?

[ammornil]

да се определят точките на прекъсване на функцията [tex]f(x) = \frac{x^2 -3|x-1|-3}{x-3}[/tex]. Може ли функцията да бъде додефинирана така, че да бъде непрекъсната в тези точки?

[tex]\text{ДМ}: x \ne 3[/tex]

[tex]x \to 3 \pm 0 \Rightarrow x-1>0 \Rightarrow |x-1| = (x-1)[/tex]

[tex]\lim_{x \to 3 - 0}{\frac{x^2 -3|x-1|-3}{x-3}}=\lim_{x \to 3 - 0}{\frac{x^2 -3(x-1)-3}{x-3}}=\lim_{x \to 3 - 0}{\frac{x^2 -3x}{x-3}}=\lim_{x \to 3 - 0}{\frac{x(x-3)}{x-3}}=\cdots =3[/tex]

[tex]\lim_{x \to 3 + 0}{\frac{x^2 -3|x-1|-3}{x-3}}=\lim_{x \to 3 + 0}{\frac{x^2 -3(x-1)-3}{x-3}}=\lim_{x \to 3 + 0}{\frac{x^2 -3x}{x-3}}=\lim_{x \to 3 + 0}{\frac{x(x-3)}{x-3}}=\cdots =3[/tex]

Границите съвпадат, следователно имаме прекъсване от първи тип, което може да се премахне с допълнителна дефиниция $$ f(x) = \begin{cases} \frac{\normalsize{x^2 -3|x-1|-3}}{\normalsize{x-3}},\hspace{2em} x \in (-\infty;3) \cup (3;+\infty) \\ 3, \hspace{9em} x=3 \end{cases} $$