Неравенства и разположение корените на квадратно уравнение

[Гост]

IMG-3f928f65bad4a32d07445c71ae86e065-V.png (65.76 KiB) Прегледано 1508 пъти

[Davids]

Решения с основните знания за параболи и разположение на корени от ~9-ти клас (без производни и прочее):

Да започнем с решенията на неравенството $x^2+5x+6 < 0$. Имаме положителен старши коефициент, значи параболата "стърчи" нагоре и отрицателните стойности по параболата се намират между двата й корена. Намираме ги:

$D = 5^2 - 4\cdot1\cdot6 = 1$
$x_1 = \frac{-5 -1}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-5+1}{2} = -2$

Значи решенията са $x\in (-3, -2)$. Сега се интересуваме, за кои стойности на $p\in\R$ е вярно, че за $x\in(-3, -2)$ е в сила $g(x) := (p-2)x^2-2px+3p>0$.

Генерално ни интересуват два случая в зависимост от старшия коефициент на $g$:

1 сл.) $p - 2 < 0$, т.е. отрицателен старши коефициент, т.е. параболата ни стърчи надолу. Тогава, за да имаме $g(x) > 0$, искаме целият интервал $(-3, -2)$ да лежи между двата корена на $g$. С други думи, ако означим двата корена $x_1 < x_2$, то искаме:
[tex]\begin{array}{|l} x_1 \le -3 \\ x_2 \ge -2 \end{array}[/tex]

Понеже тука стават тегави сметките, можем да се изхитрим със знаците. Понеже параболата има най-много два реални корена, достатъчно ни е:
[tex]\begin{array}{|l} g(-3) \ge 0 \\ g(-2) \ge 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 9(p-2) + 6p + 3p \ge 0 \\ 4(p-2) + 4p + 3p \ge 0\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 18p - 18 \ge 0 \\ 11p - 8 \ge 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} p \ge 1 \\ p \ge \frac{8}{11}\end{array}[/tex]

Пресечено с условието за отрицателен старши коефициент от началото на случая, получаваме едното множество валидни решения: $p \in [1, 2)$

2 сл.) $p - 2 > 0$, т.е. положителен старши коефициент, т.е. параболата ни стърчи нагоре. Тогава, за да имаме $g(x) > 0$, искаме или и двата корена на $g$ да са вляво от интервала $(-3, -2)$, или и двата да са вдясно. Отново ще действаме със знаците (последното неравенство се има предвид върха на параболата):

[tex]\begin{array}{|l} g(-3) \ge 0 \\ g(-2) \ge 0 \\ -\frac{b}{2a} \notin (-3, -2) \end{array}[/tex]

Първите две неравенства ги имаме решени от горе, от тях имаме $p \ge 1$. Остава да се подсигурим, че върха на параболата не пада в интервала $(-3, -2)$. Имаме $-\frac{b}{2a} = \frac{2p}{2(p-2)} = \frac{p}{p-2}$, значи искаме всичко ОСВЕН решенията на:

[tex]\begin{array}{|l} \frac{p}{p-2} > -3 \\ \frac{p}{p-2} < -2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} p > -3p + 6 \\ p < -2p + 4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} p > \frac{3}{2} \\ p < \frac{4}{3} \end{array}[/tex]

Тази система пък няма никакви решения за $p$, така че никога не може да се случи върхът на параболата да е в интервала $(-3, -2)$. От тук нямаме нови ограничения.

В крайна сметка имаме само $p > 2$.

3 сл.) Остава да видим какво се случва, когато $p - 2 = 0$, т.е. $p = 2$. Тогава $g(x) = -4x + 6$ е монотонно намаляваща линейна функция. И понеже $g(-2) = 14 > 0$, то за $x \in (-3, -2)$ имаме изпълнено желаното $g(x) > 0$. Значи $p = 2$ също ни устройва.

Като обединим трите алтернативни решения, които ни устройват, получаваме окончателен отговор $\boxed{p \ge 1}$