функция

[Гост]

При какви стойности на реалния параметър m функцията [tex]f(x) = 2x^3 - 3(3m-1)x^2 + 6mx - m^2[/tex] е растяща в интервала (-1;+inf)?

[peyo]

При какви стойности на реалния параметър m функцията [tex]f(x) = 2x^3 - 3(3m-1)x^2 + 6mx - m^2[/tex] е растяща в интервала (-1;+inf)?

Ок, това ще е дълго и смешно!

Достатъчно е производната да е по-голяма от 0 в интервала (-1;+inf) нали? Тогава въпроса става при какви стойности на $m$ e вярно $f' > 0$ в интервала (-1;+inf)?

In [6]: from sympy import *

In [7]: var("x,m")
Out[7]: (x, m)

In [8]: y = 2*x**3 - 3*(3*m-1)*x**2 + 6*m*x - m**2

In [20]: print(latex(y.diff(x)))
$6 m + 6 x^{2} - 2 x \left(9 m - 3\right)$

Ок, сега внимавайте, ще напиша нещо много объркващо!

Това е парабола която е нагоре. За да бъде навсякъде по-голяма от 0 в интервала (-1;+inf), или трябва десния корен да бъде наляво от -1 или да няма решения.

Десния корен е втория израз:

In [23]: print(latex(solve(y.diff(x), x)))
$\left[ \frac{3 m}{2} - \frac{\sqrt{\left(m - 1\right) \left(9 m - 1\right)}}{2} - \frac{1}{2}, \ \frac{3 m}{2} + \frac{\sqrt{\left(m - 1\right) \left(9 m - 1\right)}}{2} - \frac{1}{2}\right]$

Да видим кога е равен на -1:

In [27]: solve(3*m/2 + sqrt((m - 1)*(9*m - 1))/2 - 1/2 +1, m)
Out[27]: []

Няма решения с десния корен < -1.

Да видим сега кога няма да има решения? Това като гледам формулите на решенията ще е когато подкоренния израз е отрицателен.

In [33]: solve((m - 1)*(9*m - 1))
Out[33]: [1/9, 1]

Ok, почти сме готови! Стойностите на $m$ които търсим са или в интервала $(1/9, 1)$ или извън него. Да прoверим вътре:

In [36]: y.diff(x).subs(m, 1/2).subs(x,-0.5)
Out[36]: 6.00000000000000

It's a Bingo!
(you just say bingo)

Решението е интервала $(1/9, 1)$ .

Да видим картинка!
In [37]: plot(y.subs(m,0),y.subs(m,1/9),y.subs(m,1), y.subs(m,1.1), (x,-1.1,1))

Figure_jshdgfjhsdg.png (29.36 KiB) Прегледано 1323 пъти

Заковах го мисля.

[ammornil]

[tex]f(x) = 2x^{3} - 3(3m-1)x^{2} + 6mx - m^{2} \\ f'(x)=6x^{2}-6(3m-1)x+6m > 0 \Rightarrow \begin{array}{|l} a>0 \\ D<0 \end{array} \Rightarrow [3(3m-1)]^{2}-6\cdot{6m}<0 \\ 9(9m^{2}-6m+1)-36m < 0 \Leftrightarrow 81m^{2}-54m+9-36m < 0 \Leftrightarrow 81m^{2}-90m+9 < 0 \Leftrightarrow 9m^{2}-10m+1 < 0 \\ \hspace{3em} m_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{5^{2}-1\cdot{9}}}{9}=\frac{5\pm 4}{9} \\ 9m^{2}-10m+1 < 0 \Rightarrow m \in \left(\frac{1}{9}; 1\right)[/tex]

Както е посочил колегата по-горе, вариантът, където десният клон на параболата пресича абсцисата в ляво от началото на разглеждания интервал, няма решения.