Релация "делимост"

[Гост]

Здравейте, не успявам да реша задачи от типа:

1. Едно число притежава следните свойства: при деление на 2 дава остатък 1, при деление на 3 дава остатък 1, при деление на 4 дава остатък 1, при деление на 5 дава остатък 1, при деление на 6 дава остатък 1, а при деление на 7 делението е точно (без остатък). Кое е най-малкото число с тези свойства? (Занимателна задача)
2. Да се намери броят на числата по-големи от 200 и по-малки от 700, които при деление на 8 дават остатък 3 и са кратни на 9.
3. Да се намери броят на числата по-големи от 200 и по-малки от 700, които при деление на 8 дават остатък 3 или са кратни на 9.
4. Да се намери броят на числата, по-големи или равни на 300 и по-малки или равни на 900, които при деление на 8 дават остатък 3, при деление на 6 дават остатък 1 и са кратни на 9.
5. Да се намери броят на числата, по-големи от 200 и по-малки от 900, които при деление на 8 дават остатък 3, при деление на 9 дават остатък 5 и при деление на 10 не дават остатък 7.

Моля за съдействие!

[pal702004]

Здравейте, не успявам да реша задачи от типа:

1. Едно число притежава следните свойства: при деление на 2 дава остатък 1, при деление на 3 дава остатък 1, при деление на 4 дава остатък 1, при деление на 5 дава остатък 1, при деление на 6 дава остатък 1, а при деление на 7 делението е точно (без остатък). Кое е най-малкото число с тези свойства? (Занимателна задача)
Моля за съдействие!

Ех, ако това число беше с едно по-малко, как щеше да се дели на всички тези числа...

[Евва]

1 зад. Получих 1 141 .Това ли е отговора ?

[peyo]

1 зад. Получих 1 141 .Това ли е отговора ?

Не. По метода на pal702004 е 721:

In [436]: 2*3*4*5*6+1
Out[436]: 721

In [437]: 721%7
Out[437]: 0

In [438]: 721%6
Out[438]: 1

In [439]: 721%5
Out[439]: 1

In [440]: 721%4
Out[440]: 1

In [441]: 721%3
Out[441]: 1

In [442]: 721%2
Out[442]: 1

Но не знам дали това е и доказателство, че е най-малкото число.

[pal702004]

НОK(2,3,4,5,6)=3.4.5

$x=60k+1=7n$

$x=420t+\boxed{301}$

[peyo]

НОK(2,3,4,5,6)=3.4.5

$x=60k+1=7n$

$x=420t+\boxed{301}$

Да направим проверка:

In [483]: {a for a in range(7,1000,7) if {a%b for b in range(2,7)} == {1}}
Out[483]: {301, 721}

[Гост]

НОK(2,3,4,5,6)=3.4.5

$x=60k+1=7n$

$x=420t+\boxed{301}$

Да направим проверка:

In [483]: {a for a in range(7,1000,7) if {a%b for b in range(2,7)} == {1}}
Out[483]: {301, 721}

Благодаря!
Има ли шанс да ми покажете някаква формула за решаване и на следващите задачи, защото не са ми в компетенцията и честно казано не са ми ясни въобще , но трябва да ги реша все някак.

[pal702004]

Ох, линейно диофантово уравнение. Литература - колкото искаш. Ок, да видим втората

при деление на 8 дават остатък 3 и са кратни на 9

$x=8k+3=9n$

$k=\dfrac{9n-3}{8}=\dfrac{8n+n-3}{8}=n+\dfrac{n-3}{8}$

За да е цяло, трябва $n-3$ да се дели на $8$, или $n=8t+3$

$x=9(8t+3)=72t+27,\;\; t \in \mathbb{Z}$

И в конкретната задача проверяваме колко такива числа има между 200 и 700.
Ако има още условия за $x$, например: и дава остатък 3 при делене на 5, решаваме още едно уравнение:
$72t+27=5a+3$
и т.н.

(Четвърта задача няма решение, помислете защо)