Биноми

[Гост]

Здравейте, може ли помощ за тази задача от бином. Изобщо не са ми ясни как се получават. Ще съм ви много благодарна.

Намерете:
А) четвъртия член в развитието на бинома [tex](х+ у^{2 } )^{5 }[/tex]
Б) шестия член в развитието на бинома [tex]( \frac{1}{3}+2а )^{7 }[/tex]

[ammornil]

[tex]a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{Z}, k\ge 0[/tex]
[tex](a+b)^{n}=C^{0}_{n}\cdot{a^{n-0}}\cdot{b^{0}}+C^{1}_{n}\cdot{a^{n-1}}\cdot{b^{1}}+C^{2}_{n}\cdot{a^{n-2}}\cdot{b^{2}}+...+C^{k}_{n}\cdot{a^{n-k}}\cdot{b^{k}}+C^{k+1}_{n}\cdot{a^{n-(k+1)}}\cdot{b^{k+1}}+...+C^{n-2}_{n}\cdot{a^{2}}\cdot{b^{n-2}}+C^{1}_{n}\cdot{a^{1}}\cdot{b^{n-1}}+C^{0}_{n}\cdot{a^{0}}\cdot{b^{n}}\\[/tex], където [tex]C^{k}_{n}=\frac{n!}{k!\cdot{(n-k)!}}[/tex] се нарича биномен коефициент.
[tex]k[/tex]-тия член на бином от степен [tex]n[/tex] има вида [tex]C^{k}_{n}\cdot{a^{n-k}}\cdot{b^{k}}[/tex]
Забележете, че стойностите на [tex]k[/tex] започват от нула а не от едно!
За кой да е по ред едночлен, [tex]k[/tex] има с едно по-малка стойност от поредния номер на едночлена в реда на бинома.
[tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са първото и второто събираемо в бинома. Забележете, че всяко от събираемите може да е отрицателно, тоест знакът на събираемото е част от самото събираемо когато замествате.
Например:
[tex](-x-y)^{3}=C^{0}_{3}\cdot{(-x)^{3}}\cdot{(-y)^{0}}+C^{1}_{3}\cdot{(-x)^{2}}\cdot{(-y)^{1}}+C^{2}_{3}\cdot{(-x)^{1}}\cdot{(-y)^{2}}+C^{3}_{3}\cdot{(-x)^{0}}\cdot{(-y)^{3}}= \\ =1\cdot(-x^{3})\cdot{1}+3\cdot{x^{2}}\cdot{(-y)}+3\cdot{(-x)}\cdot{y^{2}}+1\cdot{1}\cdot{(-y)^{3}}=-x^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}-y^{3}[/tex]

Наколко полезни наблюдения:
(1) Биномните коефициенти на първия и последния едночлен са равни на 1.
(2) [tex]C^{k-1}_{n}=C^{n-k+1}_{n}[/tex]
(3) [tex]C^{k}_{n}+C^{k+1}_{n}=C^{k+1}_{n+1}[/tex]

Бином от [tex]n[/tex]-та степен в разгърнат вид има [tex]n+1[/tex] на брой едночлена, но [tex]k\le n,[/tex] защото стойностите на [tex]k[/tex] започват с нула.

(a) [tex](x+y^{2})^{5}, a=x, b=y^{2}\\[/tex]четвърти член: [tex]k=4-1=3, n=5 \Rightarrow C^{3}_{5}=\frac{5!}{3!\cdot{(5-3)!}}=\frac{5\cdot{4}\cdot{3}\cdot{2}\cdot{1}}{3\cdot{2}\cdot{1}\cdot{2}\cdot{1}}=10,\\ C^{k}_{n}\cdot{a^{n-k}}\cdot{b^{k}}=10\cdot{x}^{5-3}\cdot{(y^{2})}^{3}=10x^{2}y^{6}[/tex]

Можете ли сам(а) да направите второто подусловие?

Скрит текст: покажи

(б) [tex]\left(\frac{1}{3}+2a\right)^{7} \\[/tex]шести член: [tex]k=6-1=5, n=7 \rightarrow C^{5}_{7}=\frac{7!}{5!\cdot{(7-5)!}}=\frac{7\cdot{6}\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\cdot{2}\cdot{1}}{5\cdot{4}\cdot{3}\cdot{2}\cdot{1}\cdot{2}\cdot{1}}=21,\\ C^{k}_{n}\cdot{a^{n-k}}\cdot{b^{k}}=21\cdot{\left(\frac{1}{3}\right)}^{7-5}\cdot{(2a)}^{5}=3\cdot{7}\cdot{\frac{1^{2}}{3^{2}}}\cdot{2^{5}}\cdot{a^{5}}=\frac{7\cdot{32}\cdot{a^{5}}}{3}=\frac{224\cdot{a^{5}}}{3}[/tex]

[peyo]

Здравейте, може ли помощ за тази задача от бином. Изобщо не са ми ясни как се получават. Ще съм ви много благодарна.

Намерете:
А) четвъртия член в развитието на бинома [tex](х+ у^{2 } )^{5 }[/tex]
Б) шестия член в развитието на бинома [tex]( \frac{1}{3}+2а )^{7 }[/tex]

Това тук:
https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient#Definition_and_interpretations

А)
При тях формулата е 0т 0, при нас предполагам като кажем 4-тия имаме предвид този с индекс 3:

In [523]: print(latex(math.comb(5,3)*x**3*(y**2)**(5-3)))
$10 x^{3} y^{4}$

Б) по същия начин