Задача от олимпида 11кл.

[hrisaka1234]

Намерете стойностите на х и у, при които редицата a, b,c е
аритметична, и геометрична прогресия, ако знаете, че
a = 8^(x+log2(y)
b= 2^(x-log2(y)\
c=3y
Благодаря ви предварително за помощтта!

[hrisaka1234]

c=5y. Съжалявам. Моля за помощ

[Knowledge Greedy]

[tex]a=b=c>0[/tex] е единствената възможност за аритметична и геометрична прогресия, при тази наредба.
След кратки преобразувания, намираме [tex](x,y)=(1,0)[/tex]
---------------
Това беше снощното ми решение. При промененото трето условие - за [tex]c=5y[/tex] ще напиша отново, малко по-подробно.

[hrisaka1234]

Аз получавам
a= (8^x)(y^3)
b = 2^x / y
c=5y

правя система
(2^x/y)^2 = (5y)(8^x)(y^3)
2(2^x/y)=5y+8^x(y^3)
но оттук нищо не ми се получава

[Евва]

Може ли отговорите ?

[hrisaka1234]

За жалост не мога да намеря отговорите на задачите от тази олимпиада. Колко получихте?

[ptj]

Първата система, която си записал е добра.

за да ти е по-лесен записа положи [tex]2^x=s[/tex].

Системата ти ще придобие вида:

[tex]а=s^3.y^3[/tex]

[tex]b= \frac{s}{y}[/tex]

[tex]c=5y[/tex]

Предполага се, че числата [tex]a,b,c[/tex] образуват аритметична и геометрична прогресия, именно във вида в който са записани.

От условието за геометрична прогресия имаш [tex]\bigg(\frac{s}{y}\bigg)^2 =s^3y^3.5y \Leftrightarrow 5sy^6=1[/tex].

От условието за аритметична прогресия имаш [tex]2 \frac{s}{y}=s^3y^3+5y \Leftrightarrow s^3y^4+5y^2-2s=0[/tex].

Има реално решение, но го намерих отново с wolframalfa.com.

[tex]s= \sqrt{5} , y= \pm \frac{1}{ \sqrt[4]{5} }[/tex]

Имам сериозни съмнения, че условието е грешно.

[Евва]

Това е от 68 Национална олимпиада по математика
Общински кръг -15.12.2 018 г.
Тема за 11 клас

Задача 1. Намерете стойностите на х и у ,при които редицата [tex]а_{1 } ,а_{2 } ,а_{3 }[/tex] е едновременно

и аритметична ,и геометрична прогресия ,ако знаете ,че
[tex]a_{1 }= 8^{x+ log_{2 }y }[/tex] ,[tex]a_{2 } = 2^{x- log_{2 }y }[/tex] ,[tex]a_{3 }[/tex]=5y

Намерих я като написах Klasirane.com

Получих x=[tex]\frac{ log_{2 }5 }{2}[/tex] и y= [tex]\sqrt[4]{ \frac{1}{5} }[/tex]

[ptj]

Има доста изкуствено продължение на моето решение.

То се основа на факта, че от [tex]5sy^6=1[/tex] може да предположим, че и [tex]s[/tex] и [tex]y[/tex] са степени на 5.

[tex]s=5^n, y=5^m[/tex].

Тогава [tex]5sy^6=1 \Leftrightarrow 1+n+6m=0 \Leftrightarrow 2n+4m=-(2m-n+1)[/tex].

[tex]s^3y^4+5y^2-2s=0 \Leftrightarrow 5^{3n+4m}+5^{2m+1}-2.5^n=0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 5^n(5^{2n+4m}+5^{2m-n+1}-2)=0[/tex]

Формално последното може да го запишем във вида [tex]5^{2z}-2.5^{z}.5^{-z}+5^{-2z}=0 \Leftrightarrow (5^z-5^{-z})^2=0 \Leftrightarrow z=0[/tex],

където [tex]2z=2n+4m[/tex], a [tex]-2z=2m-n+1[/tex].

[tex]n=-2m[/tex]

[tex]n= \frac{1}{2}[/tex]

[tex]m=- \frac{1}{4}[/tex]

Понеже [tex]y[/tex] навсякъде в уравненията е от четна степен, то съответната стойност за [tex]-y[/tex] също ще е решение.

Т.е. решението е [tex]s=5^{ \frac{1}{2} }, y= \pm 5^{- \frac{1}{4} }[/tex].

Като се върнем назад в полагането намираме:

[tex]2^x=5^{ \frac{1}{2} } \Leftrightarrow x=log_2 (5^{ \frac{1}{2} })= \frac{log_2 5}{2}[/tex]

[tex]y= \pm 5^{- \frac{1}{4} } \Leftrightarrow y= \pm \frac{1}{ \sqrt[4]{5} }[/tex].

[Евва]

В условието пише [tex]log_{2 }[/tex]y .
По определение от [tex]log_{2 }[/tex]y=t трябва y>0 .

[ptj]

O.K. Съгласен съм с забележката.

[Евва]

Утре ще пратя решението си .

[Евва]

Деф. множество x[tex]\in[/tex]R ,y[tex]\in[/tex](0 ;+[tex]\infty[/tex])
x=? y=?
Редицата е и аритмет. ,и геометр. прогресия [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{cases} b= \frac{a+c}{2} \\ b^{2 }=ac \end{cases}[/tex] ; [tex]\begin{cases} b^{2 }= \frac{ (a+c)^{2 } }{4} \\ b^{2 }=ac \end{cases}[/tex]

[tex]\frac{ (a+c)^{2 } }{4} = \frac{ac}{1}[/tex] ; [tex](a-c)^{2 } =0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a=c

Скрит текст: покажи

Намираме b=a от първото уравнение .

a=b=c

[tex]\begin{array}{|l} a=b \\ b= c \end{array}[/tex] ; [tex]\begin{array}{|l} 8^{x+ log_{2 }y} = 2^{x- log_{2 }y } \\ 2^{x- log_{2 }y }=5y \end{array}[/tex] ; [tex]\begin{array}{|l} 2^{3x+3 log_{2 }y } = 2^{x- log_{2 }y } \\ 2^{x- log_{2 }y} = 2^{ log_{2 }(5y) } \end{array}[/tex] ; [tex]\begin{array}{|l} 3x + 3 log_{2 }y = x- log_{2 }y \\ x - log_{2 }y = log_{2 }(5y) \end{array}[/tex]

Решения на системата са x=[tex]\frac{ log_{2 }5 }{2}[/tex] и y= [tex]\pm \sqrt[4]{ \frac{1}{5} }[/tex]

От деф. множество следва ,че за краен отговор отпада отрицателната стойност на у .

Може да си направим проверка .От получените стойности на х и у търсим a,b,c .
Получаваме a=b=c= [tex]\sqrt[4]{ 5^{3 } }[/tex] .

[ptj]

Браво Евва,

Много добро решение за изключително тъпа задача.

Всеки знаеш този факт може да я реши за няколко минути. Това я прави изключително неподходяща за толкова висок ранг на състезание.

П.П. Мога да я кръстя даже Теорема на Евва: Ако три числа образуват едновременно аритметична и геометрична прогресия в реда, в който са записани, то те са равни помежду си.

Между другото това условие на задачата противоречи и на двете определения за аритметична и геометрична прогресии, защото те предполагат прогресиите да са с различни членове


По принцип за всички състезания водачите на отбори обсъждат възможните варианти за задачи и техните решения.
Не съм наясно само кои са членовете на съответния революционен комитет, решаващ кого да заколят и кого да обесят на националнта олимпиада.