Биекция

[Гост]

Съществува ли биекция $\pi : N \rightarrow N$ такава че
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi(n)}{n^2} < \infty$

[ptj]

Реално въпроса е дали съществуват безкрайно суми от непериодични дроби, които са ограничени.
Да, съществуват и то безброй много.


Изброимо множество от изброими множества също е изброимо множество.
Например мощността на непериодичните дроби в един затворен интервал е същата като мощността на N, затова е възможно търсенате биекция да бъде затворена във всеки един интервал.

Друг пример са сумите [tex]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{k^n}[/tex], [tex]k \in N, k \ge2[/tex]. Всяка от тях е по-малка от 1.

Тогава за последното е достатъчно да положим [tex]\pi(n)= \frac{n^2}{k^n}[/tex].

[grav]

Друг пример са сумите [tex]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{k^n}[/tex], [tex]k \in N, k \ge2[/tex]. Всяка от тях е по-малка от 1.

Тогава за последното е достатъчно да положим [tex]\pi(n)= \frac{n^2}{k^n}[/tex].

Това не е изображение от естествените числа в естествениете числа. Например [tex]\pi(1)= \frac 1k[/tex] не е естествено.

[ptj]

Опс, не бях прочел внимателно условието.

Имам хипотеза:

Биекцията съответсваща на минимална сума на реда е за [tex]\pi(n)=n[/tex] , който е разходящ [tex]( \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n} )[/tex].
Тогава отговора на поставения въпрос е "не".
По-късно ще напиша зашо...

[ptj]

Нека [tex]n_1,n_2,n_3 \in N[/tex]. Като [tex]n^3>n_1[/tex] и [tex]n_2>n_1[/tex].

Очевидно(*): [tex]\frac{n_3}{n_1^2}+ \frac{n_1}{n_2^2}> \frac{n_1}{n_1^2}+ \frac{n_3}{n_2^2}[/tex].

Нека имаме произволна биекция [tex]\pi_1:N\rightarrow N[/tex], която е различна от подредбата на естествените числа.

Нека в тази наредба вземем първия номер [tex]n_1[/tex] за който е в сила (*), т.е. първото (с най-малък номер) [tex]\pi_1(n_1) \ne n_1[/tex].

Като [tex]\pi_1(n_1)=n_3[/tex] и [tex]\pi_1(n_2)=n_1[/tex].

Нека също [tex]\pi_2:N\rightarrow N[/tex] e биекция различаваща се от [tex]\pi_1[/tex] единствено по смяната на местата на [tex]\pi_1(n_1)[/tex] и [tex]\pi_1(n_2)[/tex],

т.е. [tex]\pi_2(n_1)=n_1[/tex] и [tex]\pi_2(n_2)=n_3[/tex].

Тогава [tex]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{ \pi_2(n) }{n^2} \le \sum_{n=1}^{\infty } \frac{ \pi_1(n) }{n^2}[/tex].

Съгласно описаното по-горе след краен или безкраен брой подобни стъпки ще стигнем до биекция [tex]\pi^*[/tex], която ще е изображение на множеството на естесвените числа в себе си (индентитет), като

[tex]\infty=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}= \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\pi^*(n)}{n^2} \le \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\pi_1(n)}{n^2}[/tex].