Странно уравнение

[Гост]

Да се реши уравнението [tex](x^2-3x+3)\mathrm{max}\{2^x,10-3x\}=x^2[/tex].

[ammornil]

Предполагам, че се решава така:$\\[24pt]u(x)=x^{2}-3x+3, \quad v(x)=max\{2^{x}, 10-3x\} \\[12pt] u(x)\cdot{v(x)}=x^{2}, \quad x=? \\[12pt] x^{2}-3x+3\rightarrow \begin{cases} D<0 \\ a>0 \end{cases} \Rightarrow x^{2}-3x+3>0 \quad \forall{x}\in\mathbb{R} \\[6pt]\boxed{\quad (1) \quad }\\ 2^{x}\geq{}10-3x \Rightarrow x\in{[2,+\infty)} \Rightarrow v(x)=2^{x} \\[6pt] 2^{x}(x^{2}-3x+3)=x^{2} \\[6pt] x\geq{2} \Rightarrow 2^{x} $ расте много по бързо от $x^{2}$,следователно единствен корен е $x=2\\[24pt] \boxed{\quad (2) \quad }\\ 2^{x}<10-3x \Rightarrow x \in{(-\infty;2)} \Rightarrow v(x)=10-3x \\[6pt] x^{2}\geq{0} \quad \forall{x}\in\mathbb{R} \Rightarrow 2^{x}(10-3x)\geq{0} \Rightarrow \begin{cases} 10-3x\geq{0} \\ x \in{(-\infty;2)} \end{cases} \Rightarrow x \in{\left(-\infty;\dfrac{10}{3}\right)}\\[6pt] (x^{2}-3x+3)(10-3x)=x^{2} \\[6pt] 10x^{2}-30x+30-3x^{3}+9x^{2}-9x-x^{2}=0 \\[6pt] 3x^{3}-18x^{2}+39x-30=0\\ $Този израз няма решения в разглеждания интервал.

Скрит текст: покажи

Забележка: в интервала $x \in{(-\infty;2]}, x=2$ е решение на уравнението $3x^{3}-18x^{2}+39x-30=0$

$$ \text{Отг.}: \quad x=2$$