Как се разлага на множители?

[Гост]

Може ли някой да ми помогне да разложа на множители израза [tex]a^{2 } + b^{2 }[/tex]?

[grav]

[tex](a+ib)(a-ib)[/tex]

[ammornil]

$\\[6pt]\quad$Както е показал колегата по-горе, в множеството на реалните числа $a^{2}+b^{2}$ няма общa форма като произведение от едночлени, но има една частна форма в която се разлага на произведение от реални еночлени, ако е изпълнено $a\ne{0}, b\ne{0}, \Rightarrow a= k\cdot{b}, k\in{\mathbb{R}} \Rightarrow a^{2}+b^{2}= (1+k^{2})\cdot{b^{2}}= \left[1 +\left(\dfrac{a}{b}\right)^{2}\right]\cdot{b^{2}}$.$\\[6pt]\quad$Има няколко популярни представяния като сбор/разлика: $$ (a, b) \in \mathbb{R}:\\[6pt] a^{2}+b^{2}= (a+b)^{2}-2\cdot{a}\cdot{b} \\[12pt] a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2} +2\cdot{a}\cdot{b} \\[12pt] a^{2}+ b^{2}= \dfrac{(a+b)^{2}+(a-b)^{2}}{2} \\[12pt] a^{2}+b^{2}= \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}} +\dfrac{b}{\sqrt{2}} \right)^{2}+ \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}} -\dfrac{b}{\sqrt{2}} \right)^{2} $$

[ammornil]

В същност за чатния случай на разлагане е достатъчно само $b\ne{0}, \exists{(a,k)}\in\mathbb{R}:\quad a = k\cdot{b} \Rightarrow a^{2}+b^{2}=\left(1+k^{2}\right)\cdot{b^{2}}= \left[1+\left(\dfrac{a}{b}\right)^{2} \right]\cdot{b^{2}}$.