Уравнение и неравенство с параметър

[v1rusman]

зад.1 Дасе намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които множеството от положителните решения на неравенството
[tex]x^3+ax^2+(a-3)x-1<0[/tex]
е интервал с дължина, по-голяма от 1 и по-малка от 2.

зад.2 Нека [tex]a[/tex] е реален параметър и [tex]a\in (-3;0)[/tex]. Да се намери броят на решението на уравнението
[tex](2x^2-5ax+2a^2)\sqrt{x-\frac{2}{ a} } = 0[/tex]
в зависимост от стойностите на [tex]a[/tex].

Задачите са от сп."Математика" и сп."Математика+".

[inveidar]

За зад.1:Нека означим лявата страна на неравенството с [tex]f(x)[/tex].
От [tex]f(0)=-1[/tex] и [tex]f(-1)=1[/tex] е ясно, че картинката е като на чертежа.

4ert.1.jpg (10.58 KiB) Прегледано 513 пъти

Сега пък е ясно, че необходимо и достатъчно е да решим системата [tex]\begin{array}{|l} {f(1)<0} \\ {f(2)>0} \end{array}[/tex].

[martin123456]

ДМ: [tex]x \ge \frac{2}{a}[/tex]
[tex]2x^2-5ax+2a^2=2(x-\frac{a}{2})(x-2a)[/tex]
имаме [tex]x_1=\frac{2}{a}[/tex] е винаги решение на задачата.
Други ешения на задачата са [tex]x_2=\frac{a}{2}[/tex] и [tex]x_3=2a[/tex] само при условие, че те удовлетворяват ДМ. [tex]x_2[/tex] е решение [tex]\Leftrightarrow \frac{a}{2} \ge \frac{2}{a} \Leftrightarrow \frac{(a+2)(a-2)}{2a} \ge 0 \Leftrightarrow a+2 \ge 0 \Rightarrow a \ge -2 \Rightarrow a \in [-2,0)[/tex].
[tex]x_3[/tex] е решение [tex]\Leftrightarrow 2a \ge \frac{2}{a} \Leftrightarrow \frac{2a^2-2}{a} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{(a+1)(a-1)}{a} \ge 0 \Leftrightarrow a+1\ge 0 \Rightarrow a \in [-1,0)[/tex].
възможно ли е някои от решенията да съвпадат? [tex]x_1=x_2 \Leftrightarrow a=-2[/tex]
[tex]x_1=x_3 \Leftrightarrow a=-1[/tex]
[tex]x_2=x_3 \Leftrightarrow \frac{a}{2}=2a \Rightarrow a=0[/tex]
значи имаме 1 решение за [tex]a \in (-3,-2)[/tex]
при [tex]a=-2[/tex] и [tex]a=-1[/tex] имаме 2 решения
при [tex]a \in (-2,-1)[/tex] имаме 2 решения
при [tex]a \in (-1,0)[/tex] имаме 3 решения
окончателно:
1) [tex]a\in (-3,-2)[/tex] 1 решение
2) [tex]a \in [-2,-1][/tex] 2 решения
3) [tex]a \in (-1,0)[/tex] 3 решения

[strangerforever]

ДМ: [tex]x \ge \frac{2}{a}[/tex]
[tex]2x^2-5ax+2a^2=2(x-\frac{a}{2})(x-2a)[/tex]
имаме [tex]x_1=\frac{2}{a}[/tex] е винаги решение на задачата.
Други ешения на задачата са [tex]x_2=\frac{a}{2}[/tex] и [tex]x_3=2a[/tex] само при условие, че те удовлетворяват ДМ. [tex]x_2[/tex] е решение [tex]\Leftrightarrow \frac{a}{2} \ge \frac{2}{a} \Leftrightarrow \frac{(a+2)(a-2)}{2a} \ge 0 \Leftrightarrow a+2 \ge 0 \Rightarrow a \ge -2 \Rightarrow a \in [-2,0)[/tex].
[tex]x_3[/tex] е решение [tex]\Leftrightarrow 2a \ge \frac{2}{a} \Leftrightarrow \frac{2a^2-2}{a} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{(a+1)(a-1)}{a} \ge 0 \Leftrightarrow a+1\ge 0 \Rightarrow a \in [-1,0)[/tex].
възможно ли е някои от решенията да съвпадат? [tex]x_1=x_2 \Leftrightarrow a=-2[/tex]
[tex]x_1=x_3 \Leftrightarrow a=-1[/tex]
[tex]x_2=x_3 \Leftrightarrow \frac{a}{2}=2a \Rightarrow a=0[/tex]
значи имаме 1 решение за [tex]a \in (-3,-2)[/tex]
при [tex]a=-2[/tex] и [tex]a=-1[/tex] имаме 2 решения
при [tex]a \in (-2,-1)[/tex] имаме 2 решения
при [tex]a \in (-1,0)[/tex] имаме 3 решения
окончателно:
1) [tex]a\in (-3,-2)[/tex] 1 решение
2) [tex]a \in [-2,-1][/tex] 2 решения
3) [tex]a \in (-1,0)[/tex] 3 решения

На мнение съм, че е спорно дали [tex]\frac{a}{2}[/tex] и [tex]2a[/tex] са решения на задачата само при условие, че удовлетворяват ДМ. От гледна точка на един ученик в 9ти или 10ти клас, може би, може да се каже така при положение, че корен квадратен от отрицателно число изобщо не съществува и изразът "спира да има смисъл". Но, ако погледнем малко по-абстрактно, [tex]i*0 = 0[/tex], така че от тази гледна точка не би трябвало да има значение какъв е изразът под корена, щом другият множител е 0. Това е причината да е спорно.

И малък пример да дам за a = -2, x = 2a, при които стойности подкоренната величина става -3, но все пак е тъждество:

http://tinyurl.com/33usja2