Задача от СУ 11.07.2011

[bleden87]

Задачата е следната
а*sinx*cosx=sinx-cosx За какви стойности на а уравнението има 2 различни корена в интервала [0;∏/2]

Аз я решавам така:
1.Повдигам 2те страни на квадрат
(а^2)(sinx)^2(cosx)^2=(cosx-sinx)^2 =>(a^2)*4/4*sinx*cosx*sinx*cosx=(1-2*sinx*cosx)

от тук уравнението става (а^2)/4*(sin2x)^2+sin2x-1=0 ; Полагам sin2x=t съществуващ в интервала [-1;1]
(a^2)*t^2+4t-4=0 ЗА да има 2 различни корена е достатъчно D>0 аf(-1)>0 и аf(1)>0
Oт тук ми излиза решението а в интервала(-∞ ;-2√2) обединено с (2√2 ;+∞)

Искам да разбера къде в цялата тази работа имам грешка защото техния отговор е само стойноста -2√2
Помагайте моля

[stflyfisher]

Задачата е следната
а*sinx*cosx=sinx-cosx За какви стойности на а уравнението има 2 различни корена в интервала [0;∏/2]

Аз я решавам така:
1.Повдигам 2те страни на квадрат
(а^2)(sinx)^2(cosx)^2=(cosx-sinx)^2 =>(a^2)*4/4*sinx*cosx*sinx*cosx=(1-2*sinx*cosx)

от тук уравнението става (а^2)/4*(sin2x)^2+sin2x-1=0 ; Полагам sin2x=t съществуващ в интервала [-1;1]
(a^2)*t^2+4t-4=0 ЗА да има 2 различни корена е достатъчно D>0 аf(-1)>0 и аf(1)>0
Oт тук ми излиза решението а в интервала(-∞ ;-2√2) обединено с (2√2 ;+∞)

Искам да разбера къде в цялата тази работа имам грешка защото техния отговор е само стойноста -2√2
Помагайте моля

При повдигане на уравнение на четна степен( в твоя случай втора) се поличава уравнение следствие на първоначалното, а не е еквивалетно уравнение на даденото. Или с други думи, полученото уравнение има освен корените на даденото и други, наречени "чужди" и за да се елеминират се прави проверка с тях в първоначалното. Например при ирационалните уравнения

[tex]f(x)=g(x)[/tex] => [tex]f^2(x)=g^2(x)[/tex],

но

[tex]f^2(x)=g^2(x)=>f^2(x)-g^2(x)=0<=>(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0<=>[/tex]

[tex]<=>f(x)-g(x)=0\cup f(x)+g(x)=0<=>f(x)=g(x) \cup f(x)= -g(x)[/tex]

[mkmarinov]

Още една грешка - възможно е да има корен t, за който да има 2 стойности на х, които да удовлетворяват уравнението [tex]2sinxcosx=t[/tex].

[bleden87]

Бе с 2 думи да я отписвам тая задача

[ganka simeonova]

Бе с 2 думи да я отписвам тая задача

Аз днес я реших с полагане на разликата на син и кос, но после има една тънкост, която на повечето хора би убегнала

[Mr.G{}{}Fy]

Бихте ли пуснали и вашето решение ?

[prodanov]

Да тая тънкост ми убегна на мен. Ето ми решението

[tex]t = sinx-cosx=\sqrt2sin(x-\frac{\pi}4)\\
x\in [0,\pi]:\vspace{} sin(x-\frac{\pi}4) \in [-\frac{\sqrt2}2, 1]\\
-\frac{\sqrt2}2 \le sin(x-\frac{\pi}4) \le 1\\
-1 \le t \le \sqrt2[/tex]
Забележка: [tex]sin(x-\frac{\pi}4)[/tex] приема еднакви стойности при [tex]x \in [\frac{\pi}2, \pi][/tex] с изключение на [tex]x=\frac{3\pi}4[/tex]
т.е при [tex]t \in [1, \sqrt2)[/tex] винаги има 2 корена
a при [tex]t\in(-1,\sqrt2][/tex] има 1 корен.

[tex]t=sinx-cosx \uparrow\\
t^2= 1 - 2sinxcosx\\
sinxcosx=\frac{1-t^2}2[/tex]

У-то придобива вида:
[tex]at^2+2t-a=0[/tex]
което е квадратно спрямо t и има 2 реални корена(D>0) и при a=0 условието не е изпълнено.

Решение:
[tex]\begin{t}{|l}f(1).f(\sqrt2)<0\\f(-1).f(\sqrt2)>0\end{t} \cup \begin{t}{|l}af(-1)>0\\af(\sqrt2)\le0\\t_0 \in (-1,\sqrt2]\end{t}[/tex]

Е 3 пъти я реших и все получавам или [tex]a>-2\sqrt2[/tex] или [tex]a<-2\sqrt2[/tex], как се решава по тоя начин идея нямам...

П.П Колко точки ми давате?

[ganka simeonova]

Така, въпреки че съм пренаситена вече от мат, ще напиша решението си. Нямам възможност да постна графика, но се надявам да ме разберете..
Аз полагам [tex]t=sinx-cosx[/tex]. При [tex]x\in [0; \pi ]=>D:t\in [-1; \sqrt2} ][/tex]
Тогава у-то се свежда до [tex]at^2+2t-a=0=>t_1t_2=-1[/tex] и у-то винаги има два реални корена.
Така. Сега да разгледаме ф-та [tex]t(x)=sinx-cosx=\sqrt{2} sin(x-\frac{\pi} {4 } )[/tex]
В дадения интервал тази ф-я има НГС за [tex]x=\frac{3\pi }{4 } =>t(\frac{3\pi }{4 } )=\sqrt{2} ; t(0)=-1; t(\pi )=1=>t\in [-1; \sqrt{2}][/tex] (Начертайте примерна графика на монотонността на ф-та)
Понеже кв. у-е за t винаги има два корена, които са различни по знак и чието произведение е -1=>
[tex]1) t_1< -1 ; t_2\in (0;1)[/tex].Но понеже единият корен не е от ДМ, а само другият, няма как у-то да има две различни решения. ( с проверка установяваме, че [tex]t_1; t_2\ne \pm 1[/tex])
2)[tex]t_1\in (-1; 0]; t_2\in (1;\sqrt{2}][/tex]-тогава правата [tex]y=t[/tex] пресича ф-та [tex]y=sinx-cosx[/tex] на три места ( което преполага и три решения), с изключение в точката на лок. макс.=>
Точно когато [tex]x=\frac{3\pi }{4 } =>t=\sqrt{2}[/tex] тази права пресича ф-та само на две места [/tex]
Замествайки, у-то добива вида:
[tex]=>2a+2\sqrt{2} -a=0=>a=-2\sqrt{2}[/tex]

[potreb14]

СУ 11.07.2011.doc