Редица

[strangerforever]

Редицата {[tex]a_n[/tex]} [tex]^{\infty}_{n=1}[/tex] е дефинирана чрез равенстватата [tex]a_1 = 4[/tex], [tex]a_2 = a_3 = (a^2 - 2)^2[/tex],

[tex]a_n = a_{n-1}a_{n-2} - 2(a_{n-1} + a_{n-2}) - a_{n-3} + 8, n \ge 4[/tex],

където [tex]a > 2[/tex] е естествено число. Да се докаже, че числото [tex]2 + \sqrt{a_n}[/tex] е точен квадрат за всяко n.

[alexander_ivanov]

Имам идея за 2 индукции обаче не знам да ли ще се получи...

[ganka simeonova]

Хубава задача, днес ще я мисля в училище stranger, само не пускай решение, моля те

[strangerforever]

Хубава задача, днес ще я мисля в училище stranger, само не пускай решение, моля те

Вече?

[ganka simeonova]

Моля те, не пускай още решение. Тази задача ми се загнезди в мозъка, но ми остава още една стъпка. Изчакай още малко.
Ако някой я реши, разбира се, че ще пусне решение.

[Mr.G{}{}Fy]

А откъде е задачата ?

[strangerforever]

А откъде е задачата ?

II български фестивал на младите математици, Созопол, 19 - 26. 09. 2011, 10.-12. клас, финал

[Mr.G{}{}Fy]

Благодаря.

[ptj]

Редицата {[tex]a_n[/tex]} [tex]^{\infty}_{n=1}[/tex] е дефинирана чрез равенстватата [tex]a_1 = 4[/tex], [tex]a_2 = a_3 = (a^2 - 2)^2[/tex],

[tex]a_n = a_{n-1}a_{n-2} - 2(a_{n-1} + a_{n-2}) - a_{n-3} + 8, n \ge 4[/tex],

където [tex]a > 2[/tex] е естествено число. Да се докаже, че числото [tex]2 + \sqrt{a_n}[/tex] е точен квадрат за всяко n.

[tex]a_n = (a_{n-1}-2)(a_{n-2} - 2) - a_{n-3}+4[/tex]

[tex]a_4=(a_3-2)(a_2-2)-a_1+4=((a^2-2)^2-2)((a^2-2)^2-2)-4+4 =((a^2-2)^2-2)^2[/tex]

[tex]a_5=(a_4-2)(a_3-2)-a_2+4= (((a^2-2)^2-2)^2-2)((a^2-2)^2-2)-((a^2-2)^2-2)+2=\left(a^2(a^2-3)^2-2\right)^2[/tex]
...

П.П. На състезание за толкова дават 1 точка (от 10) .