Сравнете числата

[strangerforever]

Нека u и v са реални числа, такива че:

[tex]\(u+u^{2}+u^{3}+\cdots+u^{8})+10u^{9}= (v+v^{2}+v^{3}+\cdots+v^{10})+10v^{11}= 8. \[/tex]

Да се определи, с доказателство, кое е по-голямо.

[ptj]

[tex]\(u+u^{2}+u^{3}+\cdots+u^{8})+10u^{9}= (v+v^{2}+v^{3}+\cdots+v^{10})+10v^{11}= 8. \[/tex]

При неотрицателни корени е лесно:
Двата полинома са растящи функции и достатъчно да сравним само неучастващите степени и в двата, т.е.

[tex]9u^9[/tex] и [tex]v^{10}+9v^{11}[/tex]. Очевидно [tex]u>v[/tex], заради коефициента пред 9-та и 11-та степен съответно.

Остава да се докаже, че няма отрицателни корени. Като гледам графиките и двете функции имат само по една инфлексна точка ( в [tex]0[/tex]-та ) и непроменяща знака си производна (положителна). Затова ако извадим по една 8-ца от тях графиките ще променят малко скоростта си на нарастване, ще се шифтнат надолу с около 8 по ординатата, а пресичането на абцисната ос ще дойде съответно надясно от нулата.
http://www.wolfram.alfa дава, че има само по един реален в интервала [tex](0,5;1)[/tex].

[ins-]

Задачата е от олимпиада на USA. Била е и "Задача на деня" в mathlinks.ro (лесно може да се намери решена).

[ptj]

Тя всяка задача тук обикновено преди това е давана другаде. Въпроса е не да на търсим чуждите решения, а сами да поблъскаме главите си.

[ins-]

почти всяка.

[mkmarinov]

[tex]9u^9[/tex] и [tex]v^{10}+9v^{11}[/tex]. Очевидно [tex]u>v[/tex], заради коефициента пред 9-та и 11-та степен съответно.

Ако и двете бяха по-големи от 1, да. В този случай не са и не може да се каже.

Малко по-различен подход - в долното решение ползвам наготово, че u, v са числа между 0 и 1, както и че по-голяото от тях не е повече от 2 пъти по-малкото.

[tex]9=\frac{10u^{10}-9u^9-1}{u-1}=\frac{10v^{12}-9v^{11}-1}{v-1}[/tex]

[tex]10u^{10}-9u^9-9u+8=0[/tex]
[tex]u^9=\frac{9u-8}{10u-9}=1-\frac{1}{10}.\frac{10u-10}{10u-9}=\frac{9}{10}+\frac{1}{100u-90}[/tex]
Съвсем аналогично,
[tex]v^{11}=\frac{9}{10}+\frac{1}{100v-90}[/tex]

Имаме [tex]f[/tex] - намаляваща функция; u,v - константи. [tex]f(u)=u^9[/tex], [tex]f(v)=v^{11}[/tex]. Ако [tex]v=u-d, d>0[/tex] (т.е. v<u), получаваме
[tex]f(u-d)>f(u)[/tex] (т.к. функцията е намаляваща), или
[tex](u-d)^{11}>u^9[/tex], което е невъзможно за числа в интервала (0;1).

Откъдето v>u.