Задача за ученици - намерете всички m-n=m.n

[stflyfisher]

Нека [tex]m,n \in Z[/tex]. Намерете всички [tex]m, n \in Z[/tex], за които: [tex]m-n=m.n[/tex]

п.п. Решението [tex]m=0, n=0[/tex] e тривиално

[alexander_ivanov]

[tex]m-n=mn[/tex]
[tex]n+mn-m=0[/tex]

[tex]m\neq n \& n \neq 0[/tex]

[tex]1) n,m \in \mathbb{Z}^{+}[/tex]
[tex]=> n>0,m(n-1)\ge 0=>n+mn-m=n+m(n-1)\ge n \ge 0[/tex]

[tex]2) m,n \in \mathbb{Z}^{-}[/tex]
[tex]n+mn-m=0[/tex]
[tex]n+m(n-1)=0[/tex]

[tex]2.1)m=-\frac{n}{n-1}[/tex]
[tex]\forall a,(a\pm 1) \in \mathbb{Z} \exists !d: d|a \& d|(a\pm 1) => d=\pm 1[/tex]
[tex]=>n-1=-1[/tex]
[tex]n=0, n \notin \mathbb{Z}^{-}[/tex]
[tex]2.2)n+mn-m=0[/tex]

[tex](m+1)n-m=0[/tex]
[tex]n=\frac{m}{m+1} > 0 , m\neq -1 => n \notin \mathbb{Z}^{-}[/tex]
[tex]m = -1; n-n+1=0=> 1=0 => m \neq -1[/tex]

[tex]3)m \in \mathbb{Z}^{+}, n \in \mathbb{Z}^{-}[/tex]
[tex]=>n<0,mn<0,(-m)<0 => n+mn-m<0[/tex]

[tex]4)m \in \mathbb{Z}^{-}, n \in \mathbb{Z}^{+}[/tex]
[tex]n+mn-m=0[/tex]
[tex]m=-frac{n}{n-1},n\neq 1[/tex]
[tex]\forall a,(a\pm 1) \in \mathbb{Z} \exists !d: d|a \& d|(a\pm 1) => d=\pm 1[/tex]
[tex]=> n=2 => m=-2[/tex]
[tex]4.1) n=1[/tex]
[tex]1+m-m=0 => 1=0 => n\neq 1[/tex]


[tex]=>m-n=mn => m_1=0,m_2=-2;n_1=0,n_2=2[/tex]

[xexe]

[tex](1+m)(n-1)=1[/tex]

[alexander_ivanov]

[tex](1-m)(n+1)=1[/tex]

това пък от къде дойде

[xexe]

Промених го!Разкрий скобите и ще видиш!

[xexe]

[tex](1+m)(n-1)=-1[/tex]

Това е вярното.

[alexander_ivanov]

да така е вярно

[stflyfisher]

Верни отговори

[tex]m-n=m.n[/tex]

[tex]m-n-mn=0[/tex]

[tex]m(1-n)-n=0[/tex]

[tex]m(1-n)+1-n=1[/tex]

[tex](1-n)(m+1)=1[/tex]

По условие

[tex]m \in Z=>m+1 \in Z[/tex](1)

[tex]n \in Z=> -n \in Z=>1-n \in Z[/tex](2)

От (1) и (2) =>[tex](1-n)(m+1)=1 <=>\begin{tabular}{|l}1-n=1\\m+1=1\end{tabular} \cup \begin{tabular}{|l}1-n=-1\\m+1=-1\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}n_1=0\\m_1=0\end{tabular} \cup \begin{tabular}{|l}n_2=2\\m_2=-2\end{tabular}[/tex]