Цели числа

[vladimir]

Попаднах на няколко задачки които изискват цели числа като решения и не съм сигурен как точно да процедирам с тях. Малко теория е добре дошла или поне да ме насочите какво да прочета или метод за решаване на такива задачи... Ето и няколко примера, за да стане по-ясно... какво точно не ми е ясно :


За кои цели стойности на параметъра [tex]"a"[/tex] корените на уравнението [tex]"x(a-1)-x(a^2-1)=a^2-a"[/tex] са цели числа?

След пресмятане стигам до [tex]a=0[/tex] или [tex]a=\frac{x-1}{x+2}[/tex]. Тук идва зациклянето .
Ако разгледам [tex]a=\frac{x-1}{x+2}[/tex] като функция, явно търся цели стойности за [tex]x[/tex] и [tex]f(x)=\frac{x-1}{x+2}[/tex] или поне аз така си го представям. Как да намеря такива стойности обаче си нямам на идея.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ето и още една която свеждам до същия проблем. Сигурно има и "по-лесен" начин за решаване, но аз не се сещам:
Ако към двуцифрено число [tex]A[/tex] прибавим [tex]1[/tex] и полученото число разделим на сумата от цифрите на [tex]A[/tex], ще получим [tex]3[/tex]. Кое е числото [tex]A[/tex]?

[tex]x[/tex] - десетици [tex]0 > x<10[/tex]
[tex]y[/tex] - единици [tex]0\ge y<10[/tex]
[tex]A=10x+y[/tex]
Сумата [tex]= x+y[/tex]

[tex]\frac{10x+y+1}{x+y}=3[/tex]

[tex]y=\frac{7x+1}{2}[/tex]

Същия проблем. Цели стойност за [tex]x[/tex] и [tex]f(x)[/tex]. Тук за късмет решението е при [tex]x=1[/tex], но не е там въпроса.

[Xixibg]

.................................

След пресмятане стигам до [tex]a=0[/tex] или [tex]a=\frac{x-1}{x+2}[/tex]. Тук идва зациклянето .
Ако разгледам [tex]a=\frac{x-1}{x+2}[/tex] като функция, явно търся цели стойности за [tex]x[/tex] и [tex]f(x)=\frac{x-1}{x+2}[/tex] или поне аз така си го представям. Как да намеря такива стойности обаче си нямам на идея.

Уравнението е спрямо [tex]x[/tex] , а не спрямо [tex]a[/tex] , както го решаваш.
[tex]x.a(1-a)=a(a-1)[/tex]
1сл.[tex]a=0,a=1 ; =>[/tex] всяко [tex]x[/tex] е решение
2сл.[tex]a\ne 0 ; a\ne 1 ; =>x=\frac{a(1-a)}{a(a-1)}=-1[/tex] което е цяло
[tex]=>[/tex] Корените на уравнението са цели числа ,за всяко [tex]a\ne 0 ; a\ne 1 ; a\in Z[/tex]

[vladimir]

Мисля, че имаш грешка. [tex]x=\frac{a(1+a)}{a(1-a)}[/tex]
Има ли значение спрямо коя променлива го решавам? И в двата случая търсим едно и също
Межо другото като отговори са дадени [tex](-1; 0; 2; 3)[/tex]

[Xixibg]

..................................... [tex]"x(a-1)-x(a^2-1)=a^2-a"[/tex] са цели числа?

Aз пък мисля че нямам

Ако има грешка то тя е в условието ти

[vladimir]

Опссс... извинявам се
[tex]x(a-1)-x(a^2-1)=a^2+a[/tex]

[Xixibg]

Ако търсиш цели стойности за параметъра при [tex]x=\frac{\cancel{a}(a+1)}{\cancel{a}(1-a)}=-\frac{a+1}{a-1}[/tex] то се прави така:
[tex]x=-\frac{a+1}{a-1}=-\frac{a-1}{a-1}-\frac{2}{a-1}=-1-\frac{2}{a-1}[/tex] сега търсиш всички делители на числото 2 в числителя.Това са числата [tex]\pm 1,\pm 2[/tex] и решаваш:
[tex]a-1=1 ; =>a=2[/tex]
[tex]a-1=-1 ; =>a=0[/tex]
[tex]a-1=2 ; =>a=3[/tex]
[tex]a-1=-2 ; =>a=-1[/tex]

Отговорите ти не са много коректни :Числото 0 не би трябвало да е решение ,защото при [tex]a=0[/tex] всяко [tex]x[/tex] е решение ,което означава ,че не всички решения [tex]x[/tex] ще са цели числа

[vladimir]

Много благодаря. Ще ми трябва малко време да схвана идеята, но мисля, че ще се справя
Отговорите ги преписах от сборника в които се ровя, а той за съжаление КИПИ от грешки така, че не ме учудва. [tex]a=0[/tex] не би трябвало да е решение наистина