Няколко задачки

[Mr.G{}{}Fy]

1.Да се намери най-малката стойност на израза [tex]\frac{xy^3+x^3y}{x^4+y^4 }[/tex],ако [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са реални различни от [tex]0[/tex].
2.Колко правоъгълни триъгълника могат да се получат,като се използват 3 от върховете на правилен 14-ъгълник?
3.Редицата[tex]x_1,x_2,...,x_n[/tex] е зададена с равенствата [tex]x_1=\sqrt{2} , x_{k+1}=\frac{x_k-1}{x_k+1 }[/tex].Да се намери [tex]x_{2010}[/tex].
4.[tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са рационални такива,че[tex]a\sqrt{2} +b +2\sqrt{2} +1=a[/tex].Да се намери прозведението [tex]a.b[/tex].Тук само,че точката е по средата между 2-та множителя,а не отдолу и така би трябвало да е нещо друго,тъй като иначе няма как да излезе отговора.
Извинявам се,че задачките са доста,но мисля,че не са кой знае какво.И ако може решения,а не само отговори.Благодаря,предварително.

[0xdeadbeef]

1.Да се намери най-малката стойност на израза [tex]\frac{xy^3+x^3y}{x^4+y^4 }[/tex],ако [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са реални различни от [tex]0[/tex].

Разделяме числителя и знаменателя на [tex]y^4[/tex], имаме [tex]\frac{\frac{x}{y} +(\frac{x}{y})^3}{(\frac{x}{y})^4 + 1}[/tex].
Полагаме [tex]\frac{x}{y} = u[/tex] и разглеждаме ф-ята [tex]\varphi(u) = \frac{u^3 + u}{u^4 + 1} = \frac{u^2 +1}{ u^3 +\frac{1}{u}} \ge 2\frac{\sqrt{u^2}}{u^4 + \frac{1}{u}} = 2\frac{|u|}{u^4 + \frac{1}{u}} = 2\frac{|u|u}{u^4 + 1} \ge -1[/tex].
Като имаме равенства за [tex]u=-1[/tex].

[ins-]

Не е ли много сложно така? ... Грешката е моя ... за максимума е по-лесно.

[0xdeadbeef]

3.Редицата[tex]x_1,x_2,...,x_n[/tex] е зададена с равенствата [tex]x_1=\sqrt{2} , x_{k+1}=\frac{x_k-1}{x_k+1 }[/tex].Да се намери [tex]x_{2010}[/tex]

.

Пресмятаме [tex]x_2 = \frac{\sqrt{2} -1}{\sqrt{2} +1}; x_3 = -\frac{1}{\sqrt{2}}; x_4 = -\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}; x_5 = \sqrt{2}[/tex] ... отново се връщаме в началто. Така, членовете с индекси, [tex]a, a +4, a+8, \dots , a + 4(n-1),a = 1,2,3,4[/tex] са равни. Чудим се числото 2010 на коя аритметична прогресия принадлежи. [tex]2010 = a + 4(n-1)[/tex], за [tex]a=2[/tex] и [tex]n=503[/tex], т.е [tex]x_2 = x_{2010} = \frac{\sqrt{2} -1}{\sqrt{2} + 1}[/tex].

[Xixibg]

[tex]4. a\sqrt{2}+b+2\sqrt{2}+1=a[/tex]
[tex]=>\sqrt{2}(a+2)=a-b-1;a,b\in Q =>[/tex] дясната страна е рационално число
=>Лявата също трябва да е рационално число.[tex]a+2\in Q ; \sqrt{2}\notin Q[/tex]
[tex]=>a+2=0 ; =>a=-2 ; =>a-b-1=0 ; =>b=-3[/tex]
[tex]=>a.b=(-2)(-3)=6[/tex]

[mkmarinov]

По 2, очевидно хипотенузите на тези правоъгълни триъгълници са (най-)големите диагонали на правилния 14-ъгълник (минават през центъра на описаната окръжност => са диаметри). Диагоналите са 7 на брой. За всеки диагонал имаме по 12 възможни върха на правоъгълния триъгълник и всичките триъгълници са единствени => отговорът е 7*12.