Аналитична геометрия

[Henz]

Даден е триъгълник A(-1,2) B(5,-6) C(1,2).
а) Намерете уравнението на медианата AM през върха A.

Знам как се решава,но не мога да разбера защо става така?
Събираме Xb+Xc/2 и Yb-Yc/2 и намираме координатите на т.M.Но защо го правим това? Искам да разбера защо по този начин се намират координатите на точки.
Нататък заместваме по формулата за Уравнение на права през две точки и готово.

[nikko]

Всичко е заради следната теорема:
Ако т. М е среда на отсечката BC, а т. О е произволна точка, то [tex]\vec{OM}=\frac{1}{2}\left(\vec{OB}+\vec{OC}\right)\,.[/tex]
Доказателство: От правилото за събиране на вектори (правило на триъгълника) [tex]\vec{OM}=\vec{OB}+\vec{BM}[/tex] и [tex]\vec{OM}=\vec{OC}+\vec{CM}[/tex]. Събираме двете равенства и имаме
[tex]2\vec{OM}=\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{BM}+\vec{CM}[/tex], но т.к. т. М е среда на BC, то векторите [tex]\vec{BM}[/tex] и [tex]\vec{CM}[/tex] са противоположни, т.е. [tex]\vec{BM}+\vec{CM}=\vec{0}[/tex] и получаваме търсеното равенство.

Като става дума за координатна система с начало т. O, то координатите на точка M са всъщност координатите на вектора [tex]\vec{OM}[/tex] и така според гоната теорема имаме, че координатите на среда на отсечка са средноаритеметични от координатите на краищата на отсечката.

[Henz]

Мерси много.Разбрах го.

[Гост]

Имам го като примерна задача възможна ли помощта ви.
Даден е триъгълник OВС с върхове O(0;0), В(6+1;0) и С(0;4+2).
Да се определят новите координати на върховете на триъгълника при:
а) транслация по посока на вектора OM = (2;2);
б) ротация на 30 (по посока, обратна на часовниковата стрелка).

[ptj]

За да решиш задачата просто трябва да представиш какво се се случва с координатите на всяка точка:

- При а.) отговора е еднозначен. За всяка (произволна) точка Z с координати [tex](x_z;y_z)[/tex]
образа й след транслация с направляващ вектор [tex]\vec{OM}(2;2)[/tex] ще се задава чрез [tex]Z'(x_z+2;y_z+2)[/tex].
Остава да запишеш аналогичните нови координати за върховете на получения след транслацията [tex]\triangle О'B'C'[/tex].

-При б.) отговора не е еднозначен, защото зависи от координатите на центъра на ротацията [tex]R(x_R;y_R)[/tex]
(ако се има в предвид координатното начало съответните координати са [tex](0;0))[/tex] .
За всяка произволна точка [tex]Z(x_z;y_z)[/tex] транслацията завърта вектора [tex]\vec{RZ}[/tex]
(в случая на [tex]30^\circ[/tex] обратно на часовниковата стрелка) около [tex]т.R[/tex], т.е. [tex]R' \equiv R[/tex].

Първо ще запишем как се задават координатите на [tex]\vec{RZ}[/tex], а именно
[tex]\vec{RZ}=\vec{OZ}-\vec{OR} \Leftrightarrow \vec{RZ}(x_z-x_R;y_z-y_R)[/tex].

Образа на [tex]\vec{RZ}[/tex] след ротация ще бъде [tex]\vec{RZ'}[/tex],
а неговите координати ще се задават чрез [tex]\vec{RZ'}(x_z-x_R- cos(30 ^\circ )|\vec{RZ}|;y_z-y_R+sin(30 ^\circ)|\vec{RZ}|)[/tex].

Остава да представим намерените координати спрямо координатното начало, като използваме [tex]\vec{OZ'}=\vec{OR}+\vec{RZ'}[/tex],
т.е. [tex]\vec{OZ'}(x_z-cos(30^\circ)|\vec{RZ}|;y_z+sin(30 ^\circ)|\vec{RZ}|)[/tex].

Дължина на вектор се намира чрез питагорова торема за координатите му: [tex]|\vec{RZ}|= \sqrt{(x_z-x_R)^2+(y_z-y_R)^2}[/tex].

П.П. По принцип всичко написано по-горе трябва да го има изведено в лекциите ви. Следването във ВУЗ предполага малко по-голяма отговорност за студентите, като поне бегъл поглед върху лекциите и задачите към тях. Практикуваното в училище обикновено преписване не е добра алтернатива, защото може да ви доведе до поправителна сесия, повтаряне на година или прекъсване...