Разностранен триъгълник и произволна точка

[plamen1994]

зад.1 Даден е раЗностранен триъгълник ABC и произволна точка P, вътрешна за него, като p1, p2, p3 са съответно разстоянията от точката до страните му BC=a, CA=b, AB=c. Да се докаже, че сумата от разстоянията от точката P до страните на триъгълника е по-голяма от най-малката височина и по-малка от най-голямата височина в триъгълника.
зад.2 За триъгълник ABC да се намери най-голямата и най-малката от сумите a+ha, b+hb, c+hc, където BC=a, CA=b, AB=c, а ha, hb, hc са съоъветните височини към тези страни.
Някой да има идея ?

[ganka simeonova]

Нека страните на АВС са[tex]a<b<c.[/tex] Да означим разстоянията от т.Р до всяка една от тях с [tex]p_a; p_b; p_c[/tex]=>

[tex]S_{ABC}=S=S_{APB}+S_{APC}+S_{PBC}=\frac{ap_a+bP_b+cp_c}{ 2} <\frac{cp_a+cP_b+cp_c}{ 2} =\frac{p_a+p_b+p_c}{ 2} .c=S\frac{p_a+p_b+p_c}{ h_c}[/tex]=>

[tex]S<S\frac{p_a+p_b+p_c}{ h_c}=>h_c<p_a+p_b+p_c[/tex]

Аналогично за другата височина.

[plamen1994]

Много Ви благодаря!