задача с ъгли

[mathinvalidnik]

Даден е четириъгълник ABCD .Известно е ,че [tex]\angle CAB= \angle DBC=30^\circ ,\angle ACD= \angle BDA=45^\circ[/tex].Да се намерят ъглите на ABCD

[martosss]

Това, което веднага ми идва на ум, е, че можеш да опишеш окръжности около АВО и ОДС(О ти е пресечна точка на диагоналите). Тогава съответно ВС и АД ти се явяват допирателни към тези окръжности(понеже ъгъл ОАВ=ъгъл ОВС=30, то дъгата ВО е 60 градуса, откъдето ъгъл ОВС се явява ... как беше... периферен... откъдето ВС ти е точно допирателна). Аналогично действаш и с АД. След това можеш да пробваш нещо със свойство на допирателни и секущи... [tex]AD^2=AO*AC, CB^2=CO*CA[/tex] ... Оттук misli6

[mathinvalidnik]

по тази задача си направих някакъв чертеж,който прикачих долу: и по неговите означения действах по някакъв начин,който до един момент ми се струваше теоретически правилен и мислих,че ще реша лесно задачата.ето го и него:

От ABCD => [tex]w^\circ+30^\circ+x^\circ+45^\circ+y^\circ+45^\circ+z^\circ+30^\circ=360^\circ[/tex]
[tex]w+x+y+z=360-150=210 <=> w+x+y+z=210^\circ[/tex] (1) и тук реших,че няма как да намеря кои са тези 4 неизвестни ако не приложа още 3 уравнения със същите неизвестни към евентоално някаква система:
От [tex]\Delta ABC => 30^\circ+w+30^\circ+x=180^\circ[/tex] => [tex]w+x=120^\circ[/tex] (2)
Oт [tex]\Delta BCD => 30^\circ+x+45^\circ+y=180^\circ[/tex] => [tex]x+y=105^\circ[/tex] (3)
От [tex]\Delta ACD => 45^\circ+y+45^\circ+z=180^\circ[/tex] => [tex]y+z=90^\circ[/tex] (4)
[tex]\begin{array}{|l}w+x+y+z=210^\circ\\w+x=120^\circ\\x+y=105^\circ\\y+z=90^\circ \end{array}[/tex]

теоретически това е система от 4 уравнения с 4 неизвестни и би трябвало да се намерят w,x,y,z.Но стигам до момент,в който ми се получава да речем w=w?? което си остава неизвестно и установявам ,че някъде мн грубо греша?

[ins-]

За тази задача най-вероятно се използва Синусова теорема, а в краен случай - и Косинусова. Би трябвало да се стигне до тригонометрично уравнение и от него да се намерят ъглите.

[martosss]

Ето ти и един чертеж от мен Този е точен и се надявам да те ориентира какво трябва да търсиш(примерно ъгъл АВД ).

[nikko]

От [tex]\Delta ABC => 30^\circ+w+30^\circ+x=180^\circ[/tex] => [tex]w+x=120^\circ[/tex] (2)
Oт [tex]\Delta BCD => 30^\circ+x+45^\circ+y=180^\circ[/tex] => [tex]x+y=105^\circ[/tex] (3)
От [tex]\Delta ACD => 45^\circ+y+45^\circ+z=180^\circ[/tex] => [tex]y+z=90^\circ[/tex] (4)
[tex]\begin{tabular}{|l}w+x+y+z=210^\circ\\w+x=120^\circ\\x+y=105^\circ\\y+z=90^\circ \end{tabular}[/tex]

теоретически това е система от 4 уравнения с 4 неизвестни и би трябвало да се намерят w,x,y,z.Но стигам до момент,в който ми се получава да речем w=w?? което си остава неизвестно и установявам ,че някъде мн грубо греша?

Само дето второ+четвърто равенство = първо, т.е. имаш 4 неисвестни и 3 уравнения!

[martosss]

Та както по-горе казах, ако О ни е пресечна точка на диагоналите, то имаме Описани окръжности около [tex]\Del ABO\cyr{ i } \Del OCD[/tex]. Сега в тези окръжнъсти имаме [tex]\angle OCD=\angle ODA=45^\circ[/tex]. Понеже <ОСД е вътрешен, то дъгата ОД е равна на 90°. Имаме също, че ъгъл АДО е 45°. Той се измерва с дъгата ОД и евентуално някаква друга дъга, но в случая понеже дъгата ОД е точно 90° и ъгъл АДО е 45°, то той се измерва само с дъгата ОД. Оттук АД се явява допирателна към окръжността, описана около ОСД. Оттук [tex]AD^2=AO*OC[/tex]
Аналогично от ъглите по 30° и Описаната около АВО окръжност определяме, че ъгъл ОВС е периферен, откъдето ВС е допирателна към окръжността и оттам [tex]CB^2=CO*CA[/tex]
Така получихме, че [tex]\frac{AD}{AO}=\frac{AC}{AD}[/tex]. Като добавиш и един общ ъгъл ДАО към това равенство и получаваш
[tex]\Del ADO\approx \Del ACD[/tex], откъдето [tex]\angle ADC=\angle AOD[/tex]
Аналогично от [tex]CB^2=CO*CA[/tex] и общ ъгъл АСВ следва, че [tex]\Del BOC\approx \Del ABC[/tex], откъдето [tex]\angle BOC=\angle ABC[/tex]
Сега понеже <AOD=<BOC, то получихме, че [tex]\angle ABC=\angle ADC[/tex]
Сега в същите триъгълници срещу тези равни страни стои страната АС, която е обща, откъдето [tex]\frac{AC}{\sin ADC}=\frac{AC}{sin\angle ABC}[/tex].
Нека означим <AOD=<BOC=x.
Сега от [tex]\Del ABC\cyr{ i }\Del ACD\Right \frac{AC}{\sin x}=\frac{BC}{\sin 30^\circ}=\frac{AD}{\sin 45^\circ}[/tex] => [tex]\frac{AD}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{\N 2}}{\frac{1}{\N 2}}=\sqrt 2\Right \fbox{AD=BC\sqrt 2} \;\;\; (1)[/tex]

Оттук можеш да намериш отношение на АО към ОС - от триъгълници АОД и ВОС със синусова теорема:
[tex]\frac{AD}{\sin x}=\frac{AO}{\sin 45^\circ},\;\; \frac{BC}{\sin x}=\frac{OC}{\sin 30^\circ}\Right[/tex] делим почленно и получаваме [tex]\frac{AD}{BC}=^{(1)}\sqrt 2=\frac{AO}{OC}*\frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}\Right \frac{AO}{OC}=\sqrt 2*\frac{\sqrt 2}{2}*2=2\Right \fbox{AO=2OC}[/tex]
Означаваме OC=a => AO=2a.
Сега от [tex]AD^2=AO*AC[/tex] можеш да изразиш АД чрез АО и ОС -> [tex]AD^2=2a*3a=6a^2\Right AD=a\sqrt{6}[/tex]. Сега от триъгълник АОД и син теорема имаш [tex]\frac{a\sqrt{6}}{sinx}=\frac{2a}{sin45}[/tex], откъдето намираш х:
[tex]\sin x=\frac{\sqrt 6*\frac{\sqrt 2}{2}}{2a}=\frac{\sqrt 3}{2}[/tex].
Лоша работа, не го очаквах - получиха ми се два варианта - ъгълът може да е или 60, или 120 градуса, сега трябва да по някакъв начин да отхвърлим 60-то и ъгъл АОД да излезе 120° , а след това и останалите ъгли лесно се намират - [tex]<OAD=180^\circ-120^\circ-45^\circ=15^\circ, < ABD=90^\circ, <ACB=30^\circ[/tex]

Да, ето го, ако е 60 градуса в триъгълник ВСО се получава противоречие - ВО излиза от АВО да е равна на 2a, а пък ВС излиза, че е [tex]2a\sqrt 6[/tex], откъдето получаваме в този случай ъгъл АСВ да е 90°само че срещу 90 стои по-малката страна , откъдето 60 не е възможно, значи х е 120 и задачата е решена

[indy]

Аз така и не разбрах, на колко са равни ъглите! И защо чертежът е точен!

[Apocalyp5e]

Не знам за чертежът на Мартин, но мога да гарантирам, че моят е точен

Построявам си [tex]BH\bot CD,BH\cap AC=N,DN\cap BC = K[/tex].
ABND - вписан (<ADB = <ANB = 45°) в окръжност k => <BAN = <BDN = <DBK = 30°, триъгълник DKB - равнобедрен.
Построяваме симетралата KS на DB, която пресича AD в точка M. BM = DM => <BMD = 90° = <AMB.
Центърът на k лежи на симетралата KS и дъгата АВ трявба да е 90°(понеже <АDB = 45°). Това еднозначно отределя М като център на окръжността. Нататък е лесно - AD e диаметър => <ABD = 90°, <DAB = 90° - 45° = 45°, <BCA = 180° - <CAB - <ABC = 30°, <ADC = 360° - <ABC - <BCD - <DAB = 120°

[martosss]

Аз така и не разбрах, на колко са равни ъглите! И защо чертежът е точен!

Защото го правих с програма и е точен Вече си поправих горното мнение с решението, съжалявам че по-рано не го бях довършил Наистина се получава един "тънък" момент с откриването на верния ъгъл

[indy]

Apokalyp5e, след като намерим ANB=45, можем да пресметнем АBN=180-45-30=105, т.е DBN=15 и значи височината CN е и ъглополовяща и DBC e равнобедрен.

За съжаление, в решението ти има тежък дефект. Можеш ли да го откриеш?!

[Apocalyp5e]

За съжаление, в решението ти има тежък дефект. Можеш ли да го откриеш?!

Може би, че не съм разгледала случая, при който H не е вътрешна точка за отсечката CD?

[indy]

Да! Ако го оправиш, евала!

[martosss]

Да! Ако го оправиш, евала!

А за моето решение няма ли да кажеш нещо? Харесва ли ти така оправено вече?
Ако има нещо неясно, моля ти се, кажи, за да го обясня!

[indy]

Нищо няма да кажа, освен че смятам, че не е редно да се преправя мнение след като някой го е коментирал. Все пак, точният чертеж, не е много точен ("совите не са това, което са" ).

[indy]

Ей така и тази задача ще си умре!
"Точен чертеж" и това е!
Всички почващи с mart да участват, иначе ще моля за помощ!

[martosss]

Еми... дори и да не е точен, нещата в моето решение са си така .... кажи ми кое не е определено... просто от това, че тези ъгли са по толкова градуса ясно следват другите неща.
Ако искаш мога и с пейнт да ти нарисувам чертеж, ама въпросът е, че от него нищо няма да ти стане ясно
Впрочем си мисля, че е добре да си ъпдейтна чертежа и върху него да нанеса нещата, които съм писал в решението. Ако искаш да го направя, ми пиши. Иначе ако нещо по решението не е ясно, пак казвам, питай.

[indy]

Еми... дори и да не е точен, нещата в моето решение са си така ....

Martoss, hайде след днешния турнир, когато видяхме че и на Слънцето има петна пак да погледнеш тази задача!

[ins-]

Задачата фигурира в един зелен сборник за факултативна подготовка, в който Руси Русев е един от авторите. Там има решение. Доколкото си спомням - съставя се тригонометрично уравнение и така се решава. Вероятно е била предлагана и в стар брой на списание "Математика".

[martosss]

Ами на втори тото шанс имаме две двойки подобни триъгълници:
[tex]\Del ABC\approx \Del BOC[/tex] по два ъгъла
Аналогично [tex]\Del AOD\approx \Del ADC[/tex]
Оттук имаме [tex]\angle AOD=\angle ADC=\angle BOC=\angle ABC=\alp[/tex]
После ако си означим СО=а, ВС=b ==> AO=2a, AD=b[tex]\sqrt{2}[/tex]
Сега от една синусова теорема за триъгълници ВОС и АСД получаваме
[tex]x=2t\sin\alp\\3t=2x\sin\alp[/tex]
Оттук със заместване получаваме [tex]\sin\alp=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], откъдето алфа е или 120 или 60.
Отново остава да съобразим, че само единият случай е възможен и сме готови.
Тук само О е прес. точка на диагоналите, не ми трябва даже чертеж, всичко е от условието
Това с окръжностите беше интересно, но просто се доказва с гореспоменатите подобни триъгълници, бях го гледал като метод при unimitable от стария форум и много ми хареса, но чак сега осъзнах как се доказва(или просто бях забравил).
А че правя грешки, правя. Просто не можах да си разпределя времето на този изпит - много подробно описвам и си изгубих времето, трябваше по-бързо да действам. Другият път.

[Гост]

Скрит текст: покажи

Решение от Евва

Нека AD=a ,BC=b ,OC=x и AO=y .
[tex]\angle[/tex]ABD =[tex]\alpha[/tex]=?

[tex]\triangle[/tex] ABC[tex]\approx \triangle BOC[/tex] ( 1 признак) [tex]\frac{AC}{BC}= \frac{BC}{OC}[/tex] ;[tex]\frac{x+y}{b}= \frac{b}{x}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] x(x+y)= [tex]b^{2 }[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]AOD[tex]\approx \triangle ADC[/tex] ( 1 признак) [tex]\frac{AO}{AD}= \frac{AD}{AC}[/tex] ;[tex]\frac{y}{a}= \frac{a}{x+y} \Rightarrow[/tex] y(x+y)= [tex]a^{2 }[/tex] (2)

Лесно намираме [tex]\angle[/tex]ADC= [tex]\alpha +30 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]ACD -sin T [tex]\frac{a}{sin45 ^\circ }= \frac{x+y}{sin( \alpha +30 ^\circ ) }[/tex]
[tex]\triangle OBC -sin T \frac{x}{sin30 ^\circ } =\frac{b}{sin( \alpha +30 ^\circ )}[/tex]

[tex]\frac{ \sqrt{2} (x+y) }{2a} = sin( \alpha +30 ^\circ) = \frac{b}{2x}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ab= [tex]\sqrt{2}[/tex]x(x+y) (виж (1)) получихме a =b[tex]\sqrt{2}[/tex] (3)

[tex]a^{2 } +b^{2 } =y(x+y) +x(x+y)[/tex] от (1) и (2)
[tex]a^{2 } +b^{2 } =2 b^{2 }+ b^{2 }[/tex] от (3)
Значи и десните страни са равни .
2xy +[tex]x^{2 } +y^{2 } =3 b^{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow AC =x+y =b \sqrt{3}[/tex] (4)

[tex]\triangle[/tex]ABC -sin T
[tex]\frac{AC}{sin( \alpha +30 ^\circ) } = \frac{BC}{sin30 ^\circ }[/tex]

[tex]\frac{b \sqrt{3} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} sin \alpha + \frac{1}{2} cos \alpha } =\frac{b}{ \frac{1}{2}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\alpha = \sqrt{3} ( 1-sin \alpha )[/tex]

Знаем ,че [tex]sin^{2 } \alpha +cos^{2 } \alpha= 1[/tex] и получаваме квадратно уравнение [tex]2sin^{2 } \alpha -3sin \alpha +1 =0[/tex]
sin[tex]\alpha[/tex] =1 , или sin[tex]\alpha = \frac{1}{2}[/tex]
1 случай [tex]\alpha =90 ^\circ[/tex] ,2 случай [tex]\alpha =30 ^\circ[/tex]

Отговор при 1 сл. четириъгълникът ABCD е с ъгли [tex]45 ^\circ ,120 ^\circ ,75^\circ ,120 ^\circ[/tex] ,
при 2 сл. четириъгълникът ABCD е с ъгли [tex]105 ^\circ ,60 ^\circ ,135^\circ ,60^\circ[/tex]

[Гост]

Ъгли на четириъгълник-page-001.jpg (195.36 KiB) Прегледано 375 пъти