Равнобедрен триъгълник (ортоцентър)

[Гост]

Здравейте! Имам затруднения със следната задача:

В равнобедрен триъгълник АВС ( AC = BC) ортоцентърът Н дели височината CM ( M Î AB) на части CH = 3 cm и HM =1 cm. Намерете бедрото на триъгълника.

Благодаря предварително!!

[Евва]

Вписах окръжност в [tex]\triangle[/tex]АВС .
Образувах система от 3 уравнения с 3 неизвестни - r ,AB ,AC .
Получих АС=[tex]\sqrt{20}[/tex] =2[tex]\sqrt{5}[/tex] см.

Скрит текст: покажи

Ще ми се да открия по-лесен начин .

[Евва]

Вписваме окръжност К(О ;r) в [tex]\triangle[/tex]АВС ,която се допира до страната АС в точка D .Нека AM=BM=AD=b .
AC=a=?
[tex]\triangle[/tex]DOC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]AMH ( 1 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{DO}{HM}[/tex]=[tex]\frac{DC}{AM}[/tex] ;[tex]\frac{r}{1}[/tex]=[tex]\frac{a-b}{b}[/tex] ; r=[tex]\frac{a-b}{b}[/tex] (1)

[tex]S_{ABC }[/tex]=pr=[tex]\frac{P}{2}[/tex].r=[tex]\frac{2a+2b}{2}[/tex].r=(a+b)r

Също така [tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{AB.CM}{2}[/tex]=[tex]\frac{2b.4}{2}[/tex]=4b
Тогава е в сила (a+b)r=4b [tex]\Rightarrow[/tex] r=[tex]\frac{4b}{a+b}[/tex] (2)

[tex]\triangle[/tex]AMC -правоъгълен [tex]b^{2}[/tex]+[tex]4^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex] (3)
Оставям на Гост удоволствието да реши системата от 3 уравнения .