Равностранен триъгълник

[nikola.topalov]

Вътрешно за равностранния [tex]\triangle ABC[/tex] е взета точката [tex]M[/tex], такава че [tex]AM=13[/tex], [tex]CM=8[/tex] и [tex]\sphericalangle CMB=120^\circ[/tex]. Да се намери дължината на [tex]BM[/tex].

[Евва]

Получавам АВ= [tex]\sqrt{409}[/tex] и ВМ= 15 . Греша ли ?

[Евва]

Нека правата ВМ пресича страната АС в т.К , a правата СМ пресича страната АВ в т.Р . Означаваме
[tex]\angle[/tex]АВМ= [tex]\beta[/tex] и [tex]\angle[/tex]АМС=[tex]\alpha[/tex] .
ВМ =х =?
[tex]\angle[/tex]KBC=60[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex] & ; ([tex]\triangle[/tex]MBC) [tex]\angle[/tex]BCM=180[tex]^\circ[/tex]-(120[tex]^\circ[/tex]+60[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex])=[tex]\beta[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ACP=60[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex] &

[tex]\triangle[/tex]KBC[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]APC , защото 1.BC=AC ; 2.[tex]\angle[/tex]BCK=[tex]\angle[/tex]CAP=60[tex]^\circ[/tex] ; 3.[tex]\angle[/tex]KBC=[tex]\angle[/tex]ACP=60[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex] ( 2 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] KC=AP (1)
(sin T [tex]\triangle[/tex]KMC) [tex]\frac{KC}{sin60 ^\circ }[/tex]=[tex]\frac{CM}{sin(60 ^\circ + \beta) }[/tex]

(sin T [tex]\triangle[/tex]APM) [tex]\frac{AP}{sin(180 ^\circ- \alpha) }[/tex]=[tex]\frac{AM}{sin(60 ^\circ+ \beta) }[/tex]
Имаме [tex]\frac{KC}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }[/tex]=[tex]\frac{8}{sin(60 ^\circ+ \beta )}[/tex] и [tex]\frac{AP}{sin \alpha }[/tex]=[tex]\frac{13}{sin(60 ^\circ+ \beta) }[/tex]
От (1) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{8 \sqrt{3} }{2sin(60 ^\circ + \beta) }[/tex]=[tex]\frac{13sin \alpha }{sin(60 ^\circ+ \beta) }[/tex] ; sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{4 \sqrt{3} }{13}[/tex] и [tex]\alpha[/tex]>90[tex]^\circ[/tex] (но не зная как да го докажа)
Тогава cos[tex]\alpha[/tex]= -[tex]\frac{11}{13}[/tex] .
([tex]\triangle[/tex]AMC cos T) [tex]AC^{2 }[/tex]=169+64-2.8.13cos[tex]\alpha[/tex]
...
[tex]AC^{2 }[/tex]=409 (2)
([tex]\triangle[/tex]MBC cos T) [tex]BC^{2 }[/tex]=[tex]x^{2 }[/tex]+[tex]8^{2 }[/tex]-2.8.x.cos120[tex]^\circ[/tex]
409=[tex]x^{2 }[/tex]+64-16x(- [tex]\frac{1}{2}[/tex])
...
[tex]x^{2 }[/tex]+8x-345=0 ; k=4
D=16+345=361=[tex]19^{2 }[/tex] ;[tex]x_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{-4 \pm \sqrt{ 19^{2 } } }{1}[/tex]=-4[tex]\pm[/tex]19

[tex]x_{1 }[/tex]=15 , [tex]x_{2 }[/tex]=-23<0 отпада
x=BM=15

[nikola.topalov]

Моето решение:
Нека [tex]B'[/tex] и [tex]M'[/tex] са образите съответно на точките [tex]B[/tex] и [tex]M[/tex] при ротация [tex]\rho(C,+60^\circ)[/tex]. Тогава [tex]CM'=CM=8[/tex] и [tex]BM'=13[/tex]. Понеже [tex]\rho(C,+60^\circ):CM\rightarrow CM'[/tex], то ъгълът между тези прави е [tex]60^\circ[/tex] (от свойството на ротацията), откъдето [tex]\triangle M'CM[/tex] е равностранен и следователно [tex]MM'=8[/tex]. Дължината на отсечката [tex]BM[/tex] намираме [tex]BM=15[/tex] с косинусова теорема за [tex]\triangle MBM'[/tex].