Максимален обем на пирамида

[nikola.topalov]

Дадена е триъгълна пирамида [tex]ABCM[/tex], за която [tex]P_{ABC}=3[/tex] и околния ръб [tex]MC[/tex] сключва с равнината [tex](ABC)[/tex] ъгъл с големина [tex]75^\circ[/tex] или [tex]15^\circ[/tex]. Да се намери максималната стойност на обема на пирамидата, при условие че центъра на описаната около нея сфера лежи на ортогоналната проекция на [tex]MC[/tex] върху [tex](ABC)[/tex].

[S.B.]

Дадена е триъгълна пирамида [tex]ABCM[/tex], за която [tex]P_{ABC}=3[/tex] и околния ръб [tex]MC[/tex] сключва с равнината [tex](ABC)[/tex] ъгъл с големина [tex]75^\circ[/tex] или [tex]15^\circ[/tex]. Да се намери максималната стойност на обема на пирамидата, при условие че центъра на описаната около нея сфера лежи на ортогоналната проекция на [tex]MC[/tex] върху [tex](ABC)[/tex].

Без заглавие - 2021-11-14T102855.811.png (410 KiB) Прегледано 354 пъти

Нека $O$ и $R$ са съответно центърът и радиусът на описаната сфера.Нека [tex]CM_{1 }[/tex] е ортогоналната проекция на околния ръб $CM$ върху равнината на основата.
[tex]O \in C M_{1 } \Rightarrow C M_{1 } \equiv S_{AB }[/tex] (центърът на сферата лежи на пресечницата на симетралните равнини на ръбовете на пирамидата)
[tex]C M_{1 } \equiv S_{AB } \Rightarrow C \in S_{AB } \Rightarrow CA = CB \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е равнобедрен.
Независимо дали околният ръб е наклонен към основата под [tex]\angle = 15 ^\circ[/tex] или [tex]\angle = 75 ^\circ[/tex] височината на пирамидата [tex]h = MM_{1 } = \frac{1}{2}R[/tex]
И на двата чертежа [tex]\triangle M_{1 }OM[/tex] е правоъгълен с хипотенуза $R$ и [tex]MM_{1 }[/tex] лежи срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex]
Когато [tex]\angle M_{1 }CM = 15 ^\circ , \angle MO M_{1 } = 30 ^\circ[/tex] като външен ъгъл за равнобедрения [tex]\triangle COM[/tex]
Когато [tex]\angle M_{1 }CM = 75 ^\circ , \angle C M_{1 }M = 30 ^\circ[/tex] като ъгъл при върха на равнобедрения [tex]\triangle COM[/tex]
Следователно големината на обема на пирамидата зависи единствено само от лицето на основата на пирамидата.
[tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{3}{2}.r[/tex]
Нека [tex]S_{AB } \cap AB = S[/tex] означавам [tex]AC = BC = y,AS = BS = x , \angle ABC = \angle BAC = \varphi[/tex]
От [tex]\triangle SBC \rightarrow \frac{x}{y} = \cos \varphi[/tex]
От[tex]P_{ABC }= 2x + 2y = 3 \rightarrow x + y = p \Rightarrow x + y = \frac{3}{2} , y \in (0 , \frac{3}{2})[/tex]
Максимален обем на пирамидата ще се получи при максимално лице на основата.
[tex]S_{max } = \frac{3}{2} r_{max }[/tex]
Ще представя радиуса на вписаната окръжност $r$ като функция на бедрото $y$ :
Нека $J$ е център на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност
От [tex]\triangle SBJ \rightarrow \frac{SJ}{JB} = \tg \frac{ \varphi }{2} \Leftrightarrow \frac{r}{x} = \tg \frac{ \varphi }{2} \Rightarrow r = x\tg \frac{ \varphi }{2}[/tex]

[tex]\tg^{2 }\displaystyle \frac{ \varphi }{2} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1 - \cos \varphi }{2} }{\displaystyle \frac{1 + \cos \varphi }{2} } = \displaystyle \frac{1 - \cos \varphi }{1 + \cos \varphi } = \displaystyle \frac{1 - \displaystyle \frac{x}{y} }{1 + \displaystyle \frac{x}{y} } = \displaystyle \frac{y - x}{y + x} = \displaystyle \frac{4y - 3}{3}[/tex]
[tex]\tg \frac{ \varphi }{2} = \pm \sqrt{ \frac{4y - 3}{3} } , \varphi(0 ; \frac{ \pi }{2} ) \Rightarrow \tg \frac{ \varphi }{2}> 0 \Rightarrow \sqrt{ \frac{4y -3}{3} } >0 , y> \frac{3}{4}[/tex]
[tex]r = x\tg \frac{ \varphi }{2} \Rightarrow[/tex]
$$r(y) = \frac{1}{ \sqrt{3} } ( \frac{3}{2} - y) \sqrt{4y - 3} , y \in (\frac{3}{4}; \frac{3}{2})$$
[tex]r'(y) = \frac{1}{ \sqrt{3} }.( \frac{3}{2} - y)'. \sqrt{4y - 3} + \frac{1}{ \sqrt{3} }.( \frac{3}{2} - y). \sqrt{4y - 3}' = ..................=[/tex]

$$r'(y) = \frac{6}{ \sqrt{3} }. \frac{1 - y}{ \sqrt{4y - 3} } $$

[tex]r'(y) \ge 0 \Leftrightarrow 1 - y \ge 0[/tex]
За [tex]y \in ( \frac{3}{4} , 1)[/tex] - функцията расте
За [tex]y \in (1 ; \frac{3}{2})[/tex] - функцията намалява
За $y= 1$ функцията притежава екстремум и $r(y) $ достига своята максимална стойност.
Получихме ,че за $y = 1$ радиусът на вписаната окръжност е най - голям [tex]\Rightarrow[/tex] лицето на основата е най-голямо когато [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен.
Тогава [tex]S_{ABC } = \frac{ 1^{2 } \sqrt{3} }{4} = \frac{ \sqrt{3} }{4} , R = \frac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow h = M M_{1 } = \frac{R}{2} = \frac{ \sqrt{3} }{6}[/tex]
[tex]V_{max } = \frac{1}{3}. \frac{ \sqrt{3} }{4}. \frac{ \sqrt{3} }{6} = \frac{1}{24}[/tex]

[nikola.topalov]

Моето решение: От условието следва, че центърът на описаната около пирамидата сфера съвпада с центъра [tex]O[/tex] на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност. Нека [tex]N\not\equiv C[/tex] е пресечната точка на правата [tex]OC[/tex] със сферата. Понеже [tex]NO=OC=OM[/tex], то [tex]\sphericalangle NMC=90^\circ[/tex]. Нека [tex]H\in NC[/tex] е ортогоналната проекция на върха [tex]M[/tex] върху [tex](ABC)[/tex] и [tex]MH=h[/tex]. Независимо от това дали ъгълът, който [tex]MC[/tex] сключва с равнината [tex](ABC)[/tex], е [tex]75^\circ[/tex] или [tex]15^\circ[/tex], ние така или иначе получаваме [tex]NC=4h[/tex]. Използваме станартните означения за страните на [tex]\triangle ABC[/tex] [tex]-[/tex] [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex]. Имаме [tex]S_{ABC}=\dfrac{abc}{8h}[/tex], а оттук за обема [tex]V[/tex] на пирамидата получаваме [tex]V=\dfrac{abc}{24}[/tex]. От неравенството на Коши имаме [tex]\dfrac{a+b+c}{3}=1\geq\sqrt[3]{abc}[/tex], следователно [tex]abc\le 1[/tex]. И така [tex]V\le\dfrac{1}{24}[/tex], т.е. [tex]\mathrm{max} V=\dfrac{1}{24}[/tex].

[S.B.]

Хубаво е,че има различни мнения за решаване на тази прекрасна задача!