Задача - трапец вписан в окръжност

[Гост]

Здравейте, ще се радвам, ако някой успее да ми помогне с тази задача или поне да ми обясни как трябва да се получи.

Трапец ABCD е вписан в окръжност, диагоналът BD е с дължина 4 см, а бедрото AD е равно на радиуса на окръжността. Намерете лицето на трапеца.

Благодаря предварително, весели празници!

[S.B.]

Здравейте, ще се радвам, ако някой успее да ми помогне с тази задача или поне да ми обясни как трябва да се получи.

Трапец ABCD е вписан в окръжност, диагоналът BD е с дължина 4 см, а бедрото AD е равно на радиуса на окръжността. Намерете лицето на трапеца.

Благодаря предварително, весели празници!

Без заглавие - 2021-12-24T205803.977.png (211.26 KiB) Прегледано 558 пъти

Нека [tex]\angle ABD = \alpha ,AD = R[/tex]

За [tex]\triangle ABD[/tex] прилагам Синусова теорема:

[tex]\frac{BD}{\sin \angle ABD} = 2R \Leftrightarrow \frac{R}{\sin \alpha } = 2R \Leftrightarrow \frac{1}{\sin \alpha } = 2 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30 ^\circ[/tex]

Щом трапецът $ABCD$ е вписан в окръжност ,то той е равнобедрен и $AC = BD = 4$

Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] диагонала $BD$ при което [tex]D \rightarrow C, B \rightarrow M, \angle ABD = \angle AMC = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle AMC[/tex] е равнобедрен, [tex]\angle ACM = 120 ^\circ[/tex]

[tex]S_{ABCD } = S_{AMC }[/tex] (ЗАЩО? )

[tex]S_{AMC } = \frac{AC.MC}{2}\sin120 ^\circ = \frac{4.4}{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} = 4 \sqrt{3}[/tex]
$$S_{ABCD } = 4 \sqrt{3} $$

Весели празници!

[KOPMOPAH]

Към задачата може да се подходи и така

Трапец вписан в окръжност.png (14.21 KiB) Прегледано 552 пъти

Триъгълникът $\triangle AOD$ е равностранен - и трите му страни са равни на радиуса на окръжността. Значи $\measuredangle OAD=60^\circ$, а $\measuredangle ABD=30^\circ$ - съответства му дъга $AD=60^\circ$.

Спускаме височината $DE$, която за $\triangle BDE$ се явява катет срещу $30^\circ$ и значи е равна на половината хипотенуза, т.е. $DE=2$. От $\triangle ABD$ получаваме $$AD=\frac{BD}{\sqrt 3}\Rightarrow AD=AO=CD=\frac{4\sqrt 3}3$$Лицето на трапеца намираме$$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}2.DE=\frac{2\frac{4\sqrt 3}3+\frac{4\sqrt 3}3}2.2=4\sqrt 3$$