Пета на перпендикуляр

[Гост]

Намерете петата на перпендикуляра от точката A(-3;2) към правата [tex]2x - y + 4 = 0[/tex].

[peyo]

Намерете петата на перпендикуляра от точката A(-3;2) към правата [tex]2x - y + 4 = 0[/tex].

Разстоянието от точка до права е https://onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/p_line1/:

(2(-3) - (2) + 4)/(sqrt(4+1) = 4/$\sqrt {5}$

Тогава търсим x,y такива, че:

[tex]\begin{array}{|l} (x+3)^2 + (y-2)^2 = (4/\sqrt {5})^2 \\ 2x - y + 4 = 0 \end{array}[/tex]

In [11]: solve([(x+3)**2+(y-2)**2-(4/math.sqrt(4+1))**2, 2*x-y+4])
Out[11]: [{x: -1.40000000000000, y: 1.20000000000000}]

geogebra-export(22).png (653.54 KiB) Прегледано 1644 пъти

[KOPMOPAH]

И друг поглед към задачата:

Права, перпендикулярна на $2x-y+4=0$ трябва да изглежда така $x+2y+a=0$. Припомням, че условието за перпендикулярност на две прави, зададени във вида $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$ изглежда така:
$$A_1.A_2=-B_1.B_2$$В нашия случай $A_1=2$, $B_1=-1$, $A_2=1$ и $B_2=2$

За да намерим колко е $a$ трябва да се замести с координатите на точката, през която минава правата, а това е точка $A(-3, 2)$ $$-3+2.2+a=0 \Rightarrow a=-1$$Уравнението на правата, перпендикулярна на дадената, изглежда така:$$x+2y-1=0$$И накрая, за да намерим петата на перпендикуляра, трябва да намерим пресечената точка на тези прави или с други думи да съставим и решим системата:$$\begin{array}{|l}2x-y+4=0 \\ x+2y-1=0\end{array}$$

Отг. $B(-1,4;1,2)$

[nikola.topalov]

Записваме декартовото уравнение на дадената права (кръщавам я [tex]f[/tex]), което е [tex]f:y=2x+4[/tex]. За ъгловия коефициент [tex]k[/tex] на правите, перпендикулярни на [tex]f[/tex], имаме [tex]2k=-1[/tex] или [tex]k=-\dfrac{1}{2}[/tex]. Тоест уравнения на всички такива прави са от вида [tex]y=-\dfrac{1}{2}x+n[/tex], където [tex]n\in\mathbb{R}[/tex]. Тъй като искаме [tex]A(-3,2)[/tex] да лежи на такава права, то [tex]2=\dfrac{3}{2}+n[/tex] или [tex]n=\dfrac{1}{2}[/tex]. И така уравнението на правата, перпендикулярна на [tex]f[/tex] и съдържаща точка [tex]A[/tex], е [tex]g:y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}[/tex]. Остава да видим къде [tex]f\cap g[/tex]. Това ще разберем като решим системата $$\begin{array}{|l} y=2x+4 \\ y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} \end{array}$$ След почленно изваждане на първото уравнение от второто получаваме [tex]x=-\dfrac{7}{5}[/tex], а оттук след заместване и [tex]y=\dfrac{6}{5}[/tex]. Окончателно петата на перпендикуляра от [tex]A[/tex] до [tex]f[/tex] е точката с координати [tex]\left(-\dfrac{7}{5},\dfrac{6}{5}\right)[/tex].

[Jack]

И друг поглед към задачата:

Права, перпендикулярна на $2x-y+4=0$ трябва да изглежда така $x+2y+a=0$. Припомням, че условието за перпендикулярност на две прави, зададени във вида $A_1x+B_1y+C_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2=0$ изглежда така:
$$A_1.A_2=-B_1.B_2$$В нашия случай $A_1=2$, $B_1=-1$, $A_2=1$ и $B_2=2$

За да намерим колко е $a$ трябва да се замести с координатите на точката, през която минава правата, а това е точка $A(-3, 2)$ $$-3+2.2+a=0 \Rightarrow a=-1$$Уравнението на правата, перпендикулярна на дадената, изглежда така:$$x+2y-1=0$$И накрая, за да намерим петата на перпендикуляра, трябва да намерим пресечената точка на тези прави или с други думи да съставим и решим системата:$$\begin{array}{|l}2x-y+4=0 \\ x+2y-1=0\end{array}$$

Ще пробвам да реша системата:
$2x - y + 4 = x + 2y - 1$
$x - y + 4 = 2y - 1$
$x + 4 = 3y - 1$
$x + 5 = 3y$
$x = 3y - 5$
$x + 2y - 1 = 3y - 5 + 2y - 1 = 5y - 6 = 0$
$5y = 6$
$y = \frac{6}{5}$
$x = \frac{18}{5} - 5 = 3\frac{3}{5} - 5 = -1\frac{2}{5}$

С което получавам отговора на peyo.

[Гост]

Благодаря много на всички за чудесните решения!