отсечка

[Гост]

Да се намерят размерите на двете части на отсечка с дължина 10см, така че сумата от лицата на равностранните триъгълници със страни тези две части да е възможно най-голяма.

[mail_dinko]

Лице на триъгълник със страна а, който е равностранен:
[tex]S_1= \frac 12. sin 60^\circ a^2 = \frac {\sqrt {3}}{4}a^2[/tex]
Отсечката се разделя на 2 части, съответно а и 10-а.
[tex]S_2 = \frac {\sqrt {3}}{4}(10-a)^2[/tex]
Сумата e:
[tex]S_{total} = S_1 + S _2 = \frac {\sqrt {3}}{4}[(10-a)^2+a^2] = \frac {\sqrt {3}}{4}(100-20a+2a^2)[/tex]
От моите забравени знания за квадратна функция си спомням, че когато параболата "гледа нагоре", т.е. имаме коефициент пред втората степен >0, то функцията има минимум във върха на параболата
Трябва да се намери първа производна на функцията
[tex]y=2a^2-20a+100[/tex]
[tex]y'=4a-20[/tex]
[tex]y'=0 \Leftrightarrow 4a-20=0 \Rightarrow a=5[/tex]
От това излиза, че минимална сума на лицата се получава при разделяне на 2 равни части на отсечката.

[ammornil]

Да се намерят размерите на двете части на отсечка с дължина 10см, така че сумата от лицата на равностранните триъгълници със страни тези две части да е възможно най-голяма.

Както е написал колегатa по-горе, лицата на двата триъгълника ще имат вида [tex]S_{1}=\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex] и [tex]S_{2}=\frac{(10-x)^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex].
Тогава целевата функция е [tex]S(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}(x^{2}+100-20x+x^{2})=\frac{\sqrt{3}}{4}(2x^{2}-20x+100) \Rightarrow[/tex]$$ S(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}-5\sqrt{3}x+25\sqrt{3} $$
За тази функция, старшият коефициент е положителен и дискриминантата е отрицателна, следователно няма максимум. Както е посочил mail_dinko, фунцкията има един локален минимум, тоест може да се намерят такива две части на отсечката, за които сборът от лицата на равностранните триъгълници, със страни равни на тези части, да е възможно най-малък.