Правоъгълен Трапец

[Гост]

В правоъгълен трапец ABCD (AD[tex]\bot[/tex]CD) основите AB и СD имат дължини съответно 4 см и 3 см. Върху бедрото AD е построена точка М, която е равноотдалечена от върховете В и С. Да се намери дължината на отсечката AD, ако МС [tex]\bot[/tex] МВ.

[ammornil]

В правоъгълен трапец ABCD (AD[tex]\bot[/tex]CD) основите AB и СD имат дължини съответно 4 см и 3 см. Върху бедрото AD е построена точка М, която е равноотдалечена от върховете В и С. Да се намери дължината на отсечката AD, ако МС [tex]\bot[/tex] МВ.

[tex]\\[/tex]

Screenshot 2024-03-17 203036.png (25.08 KiB) Прегледано 1333 пъти

[tex]\\CM=BM \Rightarrow M \in s_{BC} \\ s_{BC}\cap{BC}=O \\ \triangle{MBC}: \quad \begin{cases} CM=BM \\ MO\bot{BC} \\ \angle{CMB}=90^{\circ} \end{cases} \Rightarrow CO=BO=MO=R \\ MA=x, \quad MD=y, \quad BM=CM=z \\ \\ CC_{1}\bot{AB} \Rightarrow CC_{1}=AD=x+y \\ \begin{cases} DC \|AB \\ AD\| CC_{1} \end{cases} \Rightarrow AC_{1}=CD=3 \Rightarrow BC_{1}=AB=CD=1[cm] \\ \triangle{BAM}: \quad z^{2}=x^{2}+16 \\ \triangle{CDM}: \quad z^{2}=y^{2}+9 \\ \triangle{MOC}: \quad z^{2}=R^{2}+R^{2} \\ \triangle{CC_{1}B}: \quad (2\cdot{R})^{2}=(x+y)^{2}+1^{2} \\ \begin{array}{|l} x^{2}+16=2R^{2} \\ y^{2}+9=2R^{2} \\ (x+y)^{2}+1=4R^{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2}+y^{2}+25=4R^{2} \\ y^{2}+9=x^{2}+16 \\ (x+y)^{2}+1=x^{2}+y^{2}+25 \end{array} \\ \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2}+y^{2}+25=4R^{2} \\ y^{2}+9=x^{2}+16 \\ 2xy=24 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2}+16=2R^{2} \\ x^{2}-y^{2}=-7 \\ xy=12 \end{array}\\ \text{понеже търсим дължината на } AD \text{ можем да вземем само система от второто и третото уравнение} \\ \Rightarrow \begin{array}{|l} x^{2}-y^{2}=-7 \\ xy=12 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \left(\frac{12}{y} \right)^{2}-y^{2}=-7 \\ xy=12 \end{array} \\ \quad \begin{array}{lcll} \Rightarrow \left(\frac{\normalsize{12}}{\normalsize{y}} \right)^{2}-y^{2}=-7 \\ y^{2}=u>0: & \Rightarrow &\frac{\normalsize{144}}{\normalsize{u}}-u=-7 \Leftrightarrow \\ && u^{2}-7u-144=0 \\ &&& D=49+4\cdot{144}=625 \\ && u_{1,2}=\frac{7\pm25}{2} \Rightarrow \begin{cases} u_{1}=-9<0 \notin Du \\ u_{2}=16 > 0 \in Du \end{cases} \end{array} \\ y^{2}=16 \Rightarrow y=4[cm] \Rightarrow x=\frac{12}{y}=3[cm] \Rightarrow[/tex]$$ AD=x+y=7[cm] $$

[ammornil]

Ако сте учили еднакви триъгълници, тогава по-просто решение е следното:[tex]\\ \angle{MBC}=\angle{MCB}=45^{\circ} \\ \angle{ABC}+\angle{DCB}=180^{\circ} \Rightarrow \angle{ABM}+45^{\circ}+45^{\circ}+\angle{DCM}=180^{\circ} \Rightarrow \angle{ABM}+\angle{DCM}=90^{\circ} \\ \triangle{CDM}: \quad \angle{DMC}+\angle{DCM}=90^{\circ} \\ \begin{cases} \angle{ABM}+\angle{DCM}=90^{\circ} \\ \angle{DMC}+\angle{DCM}=90^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{ABM}=\angle{DMC} \\ \Rightarrow \begin{cases} BM=DM \\ \angle{MAB}=\angle{MDC}=90^{\circ} \\ \angle{ABM}=\angle{DMC} \end{cases} \Rightarrow \triangle{MAB}\cong \triangle{CDM} \\ \Rightarrow AM=CD=3[cm], \quad DM=AB=4[cm] \Rightarrow[/tex]$$ AD=AM+DM=7[cm] $$

[S.B.]

В правоъгълен трапец ABCD (AD[tex]\bot[/tex]CD) основите AB и СD имат дължини съответно 4 см и 3 см. Върху бедрото AD е построена точка М, която е равноотдалечена от върховете В и С. Да се намери дължината на отсечката AD, ако МС [tex]\bot[/tex] МВ.

Без заглавие - 2024-03-18T094528.909.png (208.95 KiB) Прегледано 1313 пъти

Задачата е публикувана в неутралния раздел "ГЕОМЕТРИЯ",което ми дава право да използвам за решението ѝ всякакъв материал
С чиста съвест аз ще използвам ТРИГОНОМЕТРИЯ

т.$М$ е на равни разстояния от $B$ и $C$ [tex]\Rightarrow M \in S_{BC }[/tex]
[tex]\begin{cases} MB = MC \\ MB \bot MC\end{cases} \Rightarrow \triangle BMC[/tex] е равнобедрен,правоъгълен
[tex]S_{BC } \cap BC = S , BS = MS = CS = x \Rightarrow MC = MB = x \sqrt{2}[/tex]
Нека [tex]\angle MCD = \beta , \angle MBA = \alpha[/tex]
[tex]\angle A + \angle C = 180 ^\circ \Leftrightarrow \alpha + 45 ^\circ + \beta + 45 ^\circ = 180 ^\circ[/tex]
$$ \Rightarrow \alpha + \beta = 90 ^\circ$$

От [tex]\triangle MAB \rightarrow \frac{AB}{AM} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{4}{x \sqrt{2} }= \cos \alpha[/tex]

От [tex]\triangle MCD \rightarrow \frac{DC}{MC} = \cos \beta \Leftrightarrow \frac{3}{x \sqrt{2} } = \cos \beta[/tex]

[tex]\alpha + \beta = 90 ^\circ \Leftrightarrow \alpha = 90 ^\circ - \beta \Rightarrow \cos \alpha = \sin \beta[/tex]

[tex]\sin^{2 } \beta + \cos^{2 } \beta = 1 \Leftrightarrow ( \frac{4}{x \sqrt{2} }) ^{2 } + ( \frac{3}{x \sqrt{2} }) ^{2 } = 1 \Leftrightarrow 16 + 9 = 2 x^{2 } \Rightarrow 2 x^{2 } = 25 \Rightarrow x = \frac{5 \sqrt{2} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow BC = 2x = 5 \sqrt{2} $$
[tex]CD_{1 } \bot AB , D_{1 } \in AB \Rightarrow B D_{1 } = 1[/tex]

За [tex]\triangle B D_{1 }C[/tex] прилагам Питагорова теорема:

[tex]C D_{1 } ^{2 } = BC^{2 } - B D_{1 } ^{2 } \Leftrightarrow C D_{1 } ^{2 } = 50 - 1 \Rightarrow C D_{1 } ^{2 } = 48[/tex]

$$\Rightarrow AD = C D_{1 } = 7 cm$$