Построения

[Гост]

Здравейте,
може ли да ми помогнете за следните задачи:
задача 1: Да се построи триъгълник по дадени две медиани и ъгълът, заключен между тях.
задача 2: Да се построи триъгълник по дадена страна, височина към нея и отношение на другите две страни.
задача 3: Да се построи равностранен триъгълник по даден сбор на височоната му и радиусът на описаната окръжност.
Много благодаря!

[S.B.]

Здравейте,
може ли да ми помогнете за следните задачи:
задача 1: Да се построи триъгълник по дадени две медиани и ъгълът, заключен между тях.

Без заглавие - 2025-02-04T221546.118.png (413.96 KiB) Прегледано 239 пъти

Дадени елементи:
отсечките [tex]m_{a }, m_{b } , \angle (m_{a }, m_{b }) = \varphi[/tex]

Да се построи:[tex]\triangle ABC[/tex] в който [tex]m_{a } = AM, m_{b } = BN[/tex] - медиани , [tex]AM \cap BN = G , \angle AGB = \varphi[/tex]

Анализ:

Нека [tex]\triangle ABC[/tex] е търсеният триъгълник.Продължавам медианата $AM$ до т.[tex]M_{1 } ,A M_{1 } = 2 m_{a }[/tex]
Построявам успоредника [tex]AB M_{1 }C, M_{1 }C = AB = c[/tex]
Аналогично продължавам медианата $BN$ до т.[tex]N_{1 } , B N_{1 } = 2 m_{b }[/tex]
Построявам успоредника [tex]ABC N_{1 } , C N_{1 } = AB = c[/tex]
Построявам [tex]M_{1 }Q || B N_{1 } , BQ M_{1 } N_{1 }[/tex] е успоредник, [tex]BQ = M_{1 } N_{1 } = 2c[/tex]
Получих [tex]\triangle AQ M_{1 }[/tex] в който :
[tex]A M_{1 } = 2 m_{a }, Q M_{1 } = 2 m_{b } , \angle A M_{1 }Q = \varphi[/tex] ( [tex]\angle AGB = \angle A M_{1 }Q = \varphi[/tex] съответни ъгли получени при пресичане на две успоредни прави с трета)
Основата $AQ$ = 3c [tex]\Rightarrow[/tex] върхът $B$ на търсеният [tex]\triangle ABC[/tex] лежи на основата $AQ$ и [tex]AB = \frac{1}{3}AQ[/tex]
Върхът $C$ получаваме от успоредника [tex]BP M_{1 }C[/tex] където [tex]BP = \frac{1}{3} AQ[/tex]

Построение:

1.Построяваме [tex]\triangle AQ M_{1 }[/tex]:
[tex]A M_{1 } = 2 m_{a } ; Q M_{1 } = 2 m_{b } ; \angle A M_{1 }Q = \varphi[/tex] (т. $A$ е върхът на търсеният триъгълник)
2.Разделяме основата $AQ$ на 3 равни части : $AB = BP = PQ = c$ (т.$B$ е върхът $B$ на търсеният триъгълник)
3.Построявам [tex]P M_{1 }[/tex]
4.Построявам [tex]M_{1 } N_{1 } ||AQ[/tex]
5.Построявам [tex]BC || P M_{1 } , C \in M_{1 } N_{1 }[/tex] (т.$C$ е върхът $ C$ на търсеният триъгълник)
6. По така построените точки $A$ , $B$ и $C$ построявам [tex]\triangle ABC[/tex]

[Гост]

Много благодаря за съдействието!

[S.B.]

Здравейте,
може ли да ми помогнете за следните задачи:
задача 3: Да се построи равностранен триъгълник по даден сбор на височоната му и радиусът на описаната окръжност.
Много благодаря!

Без заглавие - 2025-02-05T205449.580.png (255.81 KiB) Прегледано 201 пъти

Дадено:
Отсечката $PH = h + R$

Да се построи :
Равностранен [tex]\triangle ABC[/tex],който има височина $h$ и радиус на описаната окръжност $R$

Анализ:
В равностранния триъгълник висoчината,ъглополовящата и медианата съвпадат.Център на описаната окръжност се явява медицентърът на триъгълникът т.[tex]G \in h, h = r + R[/tex] ,където $r$ е радиус на вписаната, а $R$ е радиус на описаната окръжност и [tex]r:R= 1:2
\Rightarrow R = 2r[/tex]
[tex]HP= h + R = r + R + R \Rightarrow HP[/tex] се дели в отношение $1:2:2$
[tex]\Rightarrow HG : GC: CP = 1 : 2 : 2[/tex] , където т.$C$ е връх на търсения триъгълник.

Построение:
1.Разделям отсечката $HP$ с точките $G$ и $C$, така,че:$HG:GC:CP = 1 : 2 : 2$
2.$HC = h = HG +GC = r +R ;CP = R$
3.Построявам окръжност [tex]k (G,R = GC)[/tex]
4.Построявам права [tex]l \begin{cases} l z H \\l \bot HC \end{cases}[/tex]
5.[tex]l \cap k = A , l \cap k = B[/tex]
6.Построявам [tex]\triangle ABC[/tex]

[S.B.]

Здравейте,
може ли да ми помогнете за следните задачи:
задача 2: Да се построи триъгълник по дадена страна, височина към нея и отношение на другите две страни.
Много благодаря!

Без заглавие - 2025-02-06T120700.592.png (424.11 KiB) Прегледано 182 пъти

Дадено:
$c$ и $h$ - отсечки

Да се построи :
[tex]\triangle ABC[/tex] основа $AB = c$ , височина към основата = [tex]h \bot AB[/tex] и [tex]\frac{CA}{CB} = ...[/tex]

Анализ:
По дадените отсечки $c$ и $h$ може да се построи правоъгълник $ABPQ$ като $AB = PQ = c, AQ = BP = h$
В него могат да се впишат неопределен брой триъгълници с основа $AB = c$ и височина $h$, върховете на които [tex]C_{1 }, C_{2 }.... C_{n }[/tex] ще принадлежат на $PQ$ на разстояние $h$ от основата.
Колкото до отношението на двете страни - не е казано нищо определено.
Според мен (може и да греша!) [tex]\frac{A C_{n } }{B C_{n } } = k[/tex] ще бъде изпълнено за [tex]\forall k > 0[/tex],като за всеки отделен триъгълник $k$ ще различно.
Решението на задачата можеше да бъде определено ,ако се знаеше нещо конкретно за отношението на двете страни.
При това условие отговорът е беброй решения.