Геометрични задачи

[Гост]

Screenshot_20250423_160816.jpg (64.31 KiB) Прегледано 165 пъти

[geoder]

За зад. 1:
[tex]О_{1 } =[/tex] [tex]AP[/tex][tex]\cap[/tex][tex]CQ[/tex]
[tex]O_{2 } =[/tex] [tex]BF[/tex][tex]\cap[/tex][tex]CE[/tex]
За да лежат точките [tex]О_{1 }[/tex], [tex]C[/tex] и [tex]O_{2 }[/tex] на една права, то трябва [tex]\angle[/tex][tex]О_{1 }[/tex][tex]C[/tex][tex]О_{2 }[/tex] [tex]=[/tex] [tex]180[/tex][tex]^\circ[/tex].
Диагоналите на всеки квадрат разполовяват ъглите му.
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle O_{1 }CA = \angle O_{2 }CB = 45 ^\circ[/tex]
[tex]\angle ACB = 90 ^\circ[/tex] по условие.
[tex]\angleО_{1 }CО_{2 } =[/tex] [tex]\angleО_{1 }CA[/tex] [tex]+[/tex] [tex]\angle ACB + \angle O_{2 }CB[/tex] [tex]=[/tex] [tex]45^\circ + 90^\circ + 45^\circ = 180^\circ[/tex]
С това задачата е доказана.

[geoder]

В задача 2 (при така зададено условие) имаме 4 случая. При първите два трите точки лежат на една права, а във вторите два - не.
При такова условие, че [tex]BF = CA[/tex], същестуват две отсечки, които отговарят на изискването. Нека ги кръстим [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] (виж чертежа).
Аналогично, ако [tex]CE = BA[/tex], то и отсечката [tex]p[/tex], и отсечката [tex]q[/tex] изпълняват условието.

Първи случай - разглеждаме отсечките [tex]m[/tex] и [tex]q[/tex]
В този случай [tex]E \equiv F[/tex]. Тогава е ясно, че трите точки лежат на една права.

Втори случай - разглеждаме отсечките [tex]p[/tex] и [tex]n[/tex]
Не сме сигурни дали [tex]F[/tex], [tex]A[/tex] и [tex]E[/tex] лежат на една права, но сме сигурни, че това е изпълнено за точките [tex]F_{2 }[/tex], [tex]B[/tex] и [tex]E_{1 }[/tex] (за улеснение ще използвам означенията на прикачения чертеж).
За да лежат [tex]F[/tex], [tex]A[/tex] и [tex]E[/tex] на една права, то трябва [tex]\angle E_{2 } AF_{2 } = 180 ^\circ[/tex]. Това можем да докажем с кръстни ъгли.
[tex]\angle CAB = \angle ABF_{2}[/tex] (кръстни)
[tex]\angle F_{2 }AB = \angle ABC[/tex] (кръстни)
[tex]\angle E_{2 }AC = \angle CBE_{1 }[/tex] ([tex]E_{2 }C = CE_{1 } = AB[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ако транслираме точките [tex]E_{2 }[/tex], [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] с [tex]\vec{AB}[/tex], ще получим съответно точките [tex]C[/tex], [tex]B[/tex] и [tex]Е_{1 }[/tex])
Оттук следва, че ъглите, съставящи [tex]\angle E_{2 } AF_{2 }[/tex], са равни на ъглите, съставящи [tex]\angle F_{2 }BE_{1 }[/tex].
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle E_{2 } AF_{2}[/tex] [tex]=[/tex] [tex]\angle F_{2 }BE_{1 }[/tex] [tex]=[/tex] [tex]180^\circ[/tex]. С това доказахме задачата.

Трети случай - разглеждаме отсечките [tex]p[/tex] и [tex]m[/tex]
Тогава излиза, че [tex]E_{1 }F_{2}[/tex] [tex]\parallel[/tex] [tex]AC[/tex]. [tex]\Rightarrow[/tex] търсените точки не лежат на една права.

Четвърти случай - аналогичен на трети


PS Имайте предвид, че най-вероятно авторите на задачата са визирали втори случай.

[geoder]

Чертеж към задачата.