Интервали на монотонност и екстремоми на функция

[Гост]

Позабравил съм как се намираха и нещо не ми излизат тука задачите, ако може някой да ми припомни как ставаше работата... Да речем имам следната функция.

y = lnx /lnx - 1

ДМ съм го получил: (0+;e) [tex]\cup[/tex] (eα;+[tex]\infty[/tex])

[Добромир Глухаров]

Намираме производната [tex]y'[/tex], след което решаваме неравенствата: [tex]y'>0[/tex] и [tex]y'<0[/tex]. В получените интервали [tex]y[/tex] е растяща (за [tex]y'>0[/tex]), съответно намаляваща (за [tex]y'<0[/tex]).

Екстремумите са в точките, в които [tex]y'[/tex] си сменя знака. Решаваме уравнението [tex]y'=0[/tex] и получаваме критичните точки. За тези от тях, за които [tex]y''>0[/tex], [tex]y[/tex] има МИНИМУМ, а за тези, за които [tex]y''<0[/tex] - МАКСИМУМ. Също, ако [tex]y'[/tex] си сменя знака от отрицателен на положителен, имаме МИНИМУМ, а ако си сменя знака от положителен на отрицателен - МАКСИМУМ.

[Добромир Глухаров]

[tex]y'=\frac{\frac{1}{x}\(lnx-1\)-lnx\({\frac{1}{x}}\)}{\(lnx-1\)^2}=-\frac{1}{x(lnx-1)^2}[/tex]

[tex]x\in(0;e)\cup(e;+\infty)\Rightarrow y'<0\Rightarrow y[/tex] е намаляваща в ДМ.

Остава да се намерят [tex]\lim_{x\to0+}f(x)=1,\lim_{x\to e-}f(x)=-\infty,\lim_{x\to e+}f(x)=+\infty,\lim_{x\to+\infty}f(x)=1[/tex].

[Гост]

Добре, реших го със y'=0 получих [tex]x_{1} = 0 ; x_{2} = e ; x_{3} = e ;[/tex]. Което е този ентервал, който ти си намерил:

[tex]x\in(0;e)\cup(e;+\infty)\Rightarrow y'<0\Rightarrow y[/tex] е намаляваща в ДМ.

Той е същия при y' < 0, това какво ще рече за критичните точки, които се намират със y'=0 ?
И със тези граници, които си дал кое намираме?

[Гост]

За упражнение взех следния пример:
y=x[tex]\sqrt[2]{1-x^{2}}[/tex]
и за y' получих следното
[tex]\sqrt[2]{1-x^{2}} - \frac{x^{2}}{2}[/tex]
И сега накъде или съм го объркал още от сега?

[Добромир Глухаров]

Добре, реших го със y'=0 получих [tex]x_{1} = 0 ; x_{2} = e ; x_{3} = e ;[/tex]. Което е този ентервал, който ти си намерил:

[tex]x\in(0;e)\cup(e;+\infty)\Rightarrow y'<0\Rightarrow y[/tex] е намаляваща в ДМ.

Той е същия при y' < 0, това какво ще рече за критичните точки, които се намират със y'=0 ?
И със тези граници, които си дал кое намираме?

Получили сме, че y е намаляваща в ДМ, следователно няма локални екстремуми. За да има локален екстремум, трябва вляво и вдясно от него да има различно поведение.

Границите, които съм дал, служат по-нататък при построяване на графиката.

[Добромир Глухаров]

За упражнение взех следния пример:
y=x[tex]\sqrt[2]{1-x^{2}}[/tex]
и за y' получих следното
[tex]\sqrt[2]{1-x^{2}} - \frac{x^{2}}{2}[/tex]
И сега накъде или съм го объркал още от сега?

[tex]y=x\sqrt{1-x^2}[/tex]

[tex]DM: x\in[-1;1][/tex]

[tex]y'=\sqrt{1-x^2}+x\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-x^2-x^2}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

[tex]y'=0,1-2x^2=0,x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]x\in(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}),y'>0,y[/tex] расте.

[tex]x\in(-1;-\frac{\sqrt{2}}{2})\cup(\frac{\sqrt{2}}{2});1),y'<0,y[/tex] намалява.

[Гост]

Здравейте, не знам дали е точното място да пиша, но се надявам все пак някой да откликне Имам следната задача : Трябва да дискутирам функцията -x* e^ (-x/4). В "дискусията" се включват определяне на локалния минимум и максимум, точките, в които функцията има обрати, дали функцията е изпъкнала/вдлъбната, да се определи монотонност и граница( lim->+∞ f(x)). Благодаря предварително.