Интеграли

[Гост]

Абе нещо не мога да ги зацепя тези задачи, а са доста ценни точки за един предстоящ ми изпит знам, че са свързани с производни и златното правило dF(x) = F ' (x)dx, както и цяла таблица с таблични интеграли, но уви не мога да схвана как въобще да почна дадена задача и накъде да вървя! Ясно е че накрая трябва да остане израз + константа.

Например имам интегралат:

[tex]\int_{\sqrt{1+lnx} }^{x }dx[/tex]

Хубав е няма, таблична съответна стойност на интеграла и какво правим сега, за да достигнем до такава и да го решим?
Ще помоля за някакво по-подробно обяснение, а не класическо решение със сметки на ум. Целта ми е да видя пътеката и да се ориентирам, ако имам този или подобен интеграл какво да правя.
Благодаря на отзовалите се!

[Гост]

[tex]\int_{}^{}\frac{\sqrt{1+lnx}}{ x } dx[/tex]

Това е правилния обърках кодовете просто

[s.karakoleva]

Първо се внася [tex]\frac1x[/tex] под знака на интеграла
[tex]I=\int\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}\, dx=\int\sqrt{1+\ln x}\ d(\ln x)[/tex]
Полагаме [tex]\ln x=u[/tex] и се получава интегралът
[tex]I=\int\sqrt{1+u}\,du[/tex], за който най-естествено е да се положи целият корен да е нова променлива: [tex]\sqrt{1+u}=t[/tex]; [tex]1+u=t^2\Rightarrow u=t^2-1\Rightarrow du=2t\,dt[/tex]
Така за интеграла се получава
[tex]I=\int t\cdot 2t\, dt=2\int t^2\, dt=\frac23 t^3=\frac23\left(\sqrt{1+u}\right)^3+C[/tex]

[Гост]

Добре ясно разбрах решението, само не разбрах. как като вкарахме 1/x под интеграла го направихме на lnx.

Взех подобен пример, а именно
[tex]\int_{}^{ } \frac{ln(1+x+x^{2})}{ (1+x)^{2}} dx[/tex]

Решавам и получавам най-различни неща и не зная кое е точно, но най-близкото ми се струва

[tex]\int_{}^{ } \frac{lnu}{ u} du[/tex]
Въртях го с производни и полагане на [tex](1+x)^2 = u[/tex]
Въпреки, че съм твърдо обеден, че трябва да разкарам натуралния логаритам щотото не виждам как да продължа...
И пак мисля, че съм сбъркал и то жестоко, но пък останалите 2 начина просто са тотална скрап...

[ferry2]

Добре ясно разбрах решението, само не разбрах. как като вкарахме 1/x под интеграла го направихме на lnx.

Защото [tex]\int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C[/tex]

[s.karakoleva]

Добре ясно разбрах решението, само не разбрах. как като вкарахме 1/x под интеграла го направихме на lnx.

Златно правило: Когато се внася нещо под знака на интеграла, то се интегрира, а когато се изнася нещо пред знака на диференциала, то се диференцира. При по-сложен израз като в примера

[tex]\int_{}^{ } \frac{ln(1+x+x^{2})}{ (1+x)^{2}} dx[/tex]

трябва да се реши отделно
[tex]\int \frac{1}{(1+x)^2}\, dx=\int(1+x)^{-2}d(x+1)=\frac{(x+1)^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x+1}[/tex],
за да се види каква функция ще влезе под интеграла, след това се интегрира по части:
[tex]I=-\int\ln (1+x+x^2)\, d\frac1{x+1}=-\frac{\ln (1+x+x^2)}{x+1}+\int\frac1{x+1}\cdot\frac{1+2x}{1+x+x^2}[/tex]
и нататък интегралът се решава чрез разлагане на елеметарни дроби.