Диференциялни уравнения от втори ред

[Гост]

Здравейте ще се радвам на малко помощ понеже имам 3 сборника и сигорно 100 решени задачи и в нета гледах и не мога да схвана метода ето например, това:

[tex]x^2 y'y" = (y - xy')^2[/tex]
Дели се уравнението на y^2 за да се опрости и се полага [tex]\frac{y'}{y } = z[/tex],пак за да се опрости и в 90% от задачите дето имам горе доло се почва така. След това обаче има опростен вариант, който изглежда така:

[tex]y" \frac{1}{ y} + y'(-\frac{1}{ y^2})y' = z'[/tex]

Не разбрах тази част [tex]y'(-\frac{1}{ y^2} )y'[/tex]
как се появи? защо има 2 пъти от 2-те страни y' и как да действам отук насетне. Също описания метод важи ли за всички уравнения от този вид?
И тогава как се прилага при следния пример:
[tex]x^2y" = y'^2[/tex] да деля само на y, за да махна 2-рата степен или ?

[Anubis]

[tex]x^2y''=y'^2[/tex]

За това уравнение не е нужно да делиш. То се решава с полагането

[tex]y'(x)=z(x) \Rightarrow y''(x)=z'(x)[/tex].

[tex]x^2z'=z^2 \Leftrightarrow x^2 \frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}x}=z^2 \Rightarrow \frac{\operatorname{d}z}{z^2}=\frac{\operatorname{d}x}{x^2} \Rightarrow -\frac{1}{z}=-\frac{1}{x}-C_{1} \Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{1}{x}+C_{1} \Rightarrow z = \frac{x}{C_{1}x+1}[/tex]

Връщаме се в полагането.

[tex]y'=\frac{x}{C_{1}x+1} \Leftrightarrow \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}=\frac{x}{C_{1}x+1} \Rightarrow \operatorname{d}y=\frac{x}{C_{1}x+1}\operatorname{d}x \Rightarrow \int \operatorname{d}y = \int \frac{x}{C_{1}x+1}\operatorname{d}x + C_{2}[/tex]

Като решим интеграла, получаваме [tex]y=\frac{1}{C_{1}} \left ( x-\frac{1}{C_{1}}\ln (C_{1}x+1)\right )+C_{2}[/tex].

За първата ти задача — те просто са диференцирали [tex]z[/tex].

[tex]\frac{y'}{y}=z \Rightarrow \frac{y''y-y'y'}{y^2}=z^2 \Leftrightarrow y''.\frac{1}{y}+y' \left ( -\frac{1}{y^2} \right )y' = z'[/tex]