Намерете max и min върху елипса???

[vpgurov]

Здравейте, може ли някой, който разбира да помогне за тази задача: Намерете max и min на функцията 1/(2x^2+y^2), върху елипсата x^2+y^2/4= 1. Опитах се да я реша като сведох нещата до функция на Лагранж и съответно да намеря нейните стационарни точки, но до никъде не стигнах.

[Гост]

[tex]x^2+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow y^2 = 4(1-x^2)[/tex]

[tex]f(x;y)=\frac{1}{2x^2+y^2}= \frac{1}{2x^2+4-4x^2} = \frac{1}{4-2x^2} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2-x^2}[/tex]

Това вече е функция на една променлива, за нея можеш да пробваш с [tex]f'(x)=0[/tex].

[tex]f'(x)=\frac{1}{2}.\frac{2x^2}{(2-x^2)^2}[/tex]

[Гост]

Исках да кажа, че [tex]f'(x)=\frac{1}{2}.\frac{2x}{(2-x^2)^2} = \frac{x}{(2-x^2)^2}[/tex] .

[tex]f'(x) \ge 0 \Rightarrow x \ge 0; \quad f'(x) \le 0 \Rightarrow x \le 0[/tex]

[tex]x=0 \Rightarrow y^2=4 \Rightarrow |y|=2[/tex].

[tex](0;2), \quad (0;-2); \quad f(x;y)=\frac{1}{4}[/tex]

[Anubis]

Ето ти решение с множителите на Лагранж.

[tex]\operatorname{max}, \quad \operatorname{min}: \quad f(x;\, y)=\frac{1}{2x^2+y^2}, \quad X = \left \{ x^2+\frac{y^2}{4}=1 \right \}[/tex]

[tex]L(x;\, y;\, \lambda_{0};\, \lambda_{1})=\lambda_{0}.\frac{1}{2x^2+y^2}+\lambda_{1}.\left ( x^2+\frac{y^2}{4}-1 \right )[/tex]

Тук трябва [tex](\lambda_{0}; \, \lambda_{1}) \neq (0;\, 0)[/tex]. Системата, която трябва да се реши, е:

[tex]\begin{array}{||}L_{x}=0 \\ L_{y}=0 \\ x^2+\frac{y^2}{4}=1\end{array} \quad \Leftrightarrow \begin{array}{||} -\frac{\lambda_{0}.4x}{(2x^2+y^2)^2} + 2\lambda_{1}x = 0 \\ -\frac{\lambda_{0}.2y}{(2x^2+y^2)^2} + \frac{\lambda_{1}y}{2} = 0 \\ x^2+\frac{y^2}{4}=1\end{array}[/tex].

Ако [tex]\lambda_{0}=0[/tex], получаваме [tex]\lambda_{1}=0[/tex], което е невъзможно. Тогава [tex]\lambda_{0}=0[/tex]. Системата е

равносилна на

[tex]\begin{array}{||}x \left [ 2\lambda_{1} - \frac{4}{(2x^2+y^2)^2} \right ] = 0 \\ y \left [ \frac{\lambda_{1}}{2} - \frac{2}{(2x^2+y^2)^2} \right ] = 0 \\ x^2+\frac{y^2}{4}=1\end{array}[/tex].

И сега, когато имаме две уравнения от вида

[tex]\begin{array}{||}a_{1}.b_{1}=0 \\ a_{2}.b_{2}=0\end{array}[/tex],

където [tex]a_{1}, \quad a_{2}, \quad b_{1}, \quad b_{2}[/tex] са множители, разглеждаме следните случаи:

[tex]\begin{array}1. \quad a_{1}=0, \quad a_{2}=0 \\ 2. \quad a_{1}=0, \quad b_{2}=0 \\ 3. \quad b_{1}=0, \quad a_{2}=0 \\ 4. \quad b_{1}=0, \quad b_{2}=0\end{array}[/tex].

Гледаме първите две уравнения в системата и просто следваме тези четири случая.

1 случай. [tex]x=0, \quad y=0[/tex]

От ограничението на задачата следва, че [tex]0=1[/tex], което е невъзможно. 1 случай не ни

върши работа.

2 случай. [tex]x=0, \quad \frac{\lambda_{1}}{2}=\frac{2}{(2x^2+y^2)^2}[/tex]

От ограничението [tex]y^2=4 \Rightarrow y^4=16; \quad \lambda_{1}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}; \quad (\lambda_{0}; \lambda_{1}) = \left ( 1; \, \frac{1}{4} \right )[/tex]. Тук нещата са наред.

3 случай. [tex]y=0, \quad 2\lambda_{1} = \frac{4}{(2x^2+y^2)^2}[/tex]

От ограничението [tex]x^2=1 \Rightarrow x^4=1; \quad \lambda_{1} = \frac{2}{4x^4} = \frac{1}{2}; \quad (\lambda_{0}; \, \lambda_{1}) = \left ( 1; \, \frac{1}{2} \right )[/tex]. Пак работата е

добре.

4 случай. [tex]2\lambda_{1} = \frac{4}{(2x^2+y^2)^2}, \quad \frac{\lambda_{1}}{2} = \frac{2}{(2x^2+y^2)^2}[/tex]

Като разделим двете уравнения, стигаме до [tex]2=4[/tex], което е абсурдно.

Така отговор дават случаите 2 и 3.

2. [tex](0; \, 2), \quad (0; \, -2)[/tex]

3. [tex](1; \, 0), \quad (-1; \, 0)[/tex]

[tex]f(0; \, 2) = f(0; \, -2) = \frac{1}{4} = f_{\operatorname{min}}; \quad f(1; \, 0) = f(-1; \, 0) = \frac{1}{2} = f_{\operatorname{max}}[/tex]

[Гост]

Трябва да е [tex]\lambda_{0}=1[/tex], извинете ме, , .