Здравейте!Помогнете за тест по математика...

[bojanski]

Ако може някой да ми реши този тест,който ще прикача на снимка,защото в сряда имам изпит в/ху него но не са ми много ясни задачите ( Много ще съм благодарен,помагайте!!!

[bojanski]

Поне 2 задачи ми решете моля ви

[kucheto]

1. Записваш координатите на точките и после смяташ: [tex]x_1=1,\ x_2=4,\ y_1=4,\ y_2=1[/tex]
а) [tex]|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=3\sqrt{2}[/tex]
[tex]AM:MB=2:1\Rightarrow |AM|=\frac{2}{3}|AB|=2\sqrt{2},\ |MB|=|AB|-|AM|=\sqrt{2}[/tex]
б)[tex]C=(x,y)\in AB\Rightarrow \left| \begin{array}{rrr} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\\end{array} \right|=0\Rightarrow (y_1-y_2)x+(x_2-y_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=3(x+y-5)=0\Rightarrow x+y-5=0[/tex]

2.Първият метод е директният, а вторият е елегантният:
а) [tex]\Delta=\left| \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\\end{array} \right|=15;\ \Delta_1=\left| \begin{array}{rrr} 3 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\\end{array} \right|=15;\ \Delta_2=\left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -4 & 1 \\\end{array} \right|=-30;\ \Delta_3=\left| \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -4 \\\end{array} \right|=-15\\
\Rightarrow x=\frac{\Delta_1}{\Delta}=1;\ y=\frac{\Delta_2}{\Delta}=-2;\ z=\frac{\Delta_3}{\Delta}=-1[/tex]
б) Като събереш първите 2 уравнения получаваш, че [tex]x=1[/tex]. Новата система е:
[tex]\begin{tabular}{|l}y-z=-1\\2y+z=-5 \end{tabular}[/tex] Отново събираш и получаваш: [tex]y=-2,\ z=-1[/tex]

3. За да изследваме функцията намираме производната [tex]f'(x)=3(x^2-8x+15)=3(x-3)(x-5)[/tex], която се нулира в точки, вътре в посочения интервал, като в тези точки тя има локални екстремуми. [tex]f(x)[/tex] расте, когато [tex]f'(x)>0[/tex] и намалява, когато [tex]f'(x)<0[/tex], т.е. [tex]f(x)[/tex] расте в [tex][0;3)[/tex] и [tex](5;6][/tex] и намалява в [tex](3;5)[/tex]. Максималната и минималната стойност се достигат или в крайните точки на интервала, или в точките на екстремум. Намираме: [tex]f(0)=-24,\ f(3)=24,\ f(5)=20,\ f(6)=24.[/tex] Оттук: [tex]f_{max}=24,\ f_{min}=-24.[/tex] Сега вече имаме достатъчно информация за да построим графиката на функцията в посочения интервал (има я в прикачения файл).

4. За да решим интеграла трябва да понижим максимално степента на числителя:
[tex]f(x)=\frac{x^4+1}{x+1}=x^3+\frac{ 1-x^3}{x+1}=x^3-x^2+\frac{x^2+1}{x+1}=x^3-x^2+x+\frac{1-x}{x+1} =x^3-x^2+x-1+\frac{2}{x+1}[/tex]
[tex]\Rightarrow \int f(x)\ dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x+2ln|x+1|[/tex]

5. За тази задача просто трябва да знаеш двете формули за дължина на дъга и лице на ротационно тяло:
[tex]f(x)=x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}\Rightarrow f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{x}}{2}[/tex]
a) [tex]A=(0,0),\ B=(2,2\sqrt{2})\Rightarrow d(\widehat{AB})=\int^2_0 \sqrt{1+(f'(x))^2}\ dx=\frac{1}{2}\int^2_0 \sqrt{4+9x}\ dx[/tex]
[tex]I=\int \sqrt{4+9x}\ dx,\ u=4+9x\Rightarrow x=\frac{u-4}{9}\Rightarrow dx=\frac{du}{9}\Rightarrow I=\frac{1}{9}\int \sqrt{u}\ du=\frac{2}{27}\int \frac{3sqrt{u}}{2}\ du=\frac{2}{27}u^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{27}(4+9x)^{\frac{3}{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow d(\widehat{AB})=\frac{1}{2}(I(2)-I(0))=\frac{2}{27}(11\sqrt{22}-4)[/tex]
b) [tex]V=\pi\int^2_0 f^2(x)\ dx=\pi\int^2_0 x^3\ dx=\pi(\frac{2^4}{4}-\frac{0^4}{4})=4\pi[/tex]

[kucheto]

5. За тази задача просто трябва да знаеш двете формули за дължина на дъга и лице на ротационно тяло:

Да се чете: обем на ротационно тяло.

[kucheto]

Сега се сещам, че в в задача 4 съм забравил да добавя интеграционната константа.