една задача за степенен ред

[andro1379]

имам степенния ред:

2.JPG (3.58 KiB) Прегледано 683 пъти

получавам радиуса на сходимост е 1.ако правилно съм го сметнал.трябва да намеря, областа на сходимост и сумата на реда.някой може ли да ми помогне как да го направя.
Според дефинициите ако R е радиуса на един степенен ред, областа на сходимост и (R,-R) това означава ли че в този случай областа е от (1,-1)?
а за сумата пише че:сумата на един степенен ред е непрекъсната функция х в интервала [-r,r] (0<r<R).само че нещо немога даго схвана:oops:

[Flame]

Ами и ти си правилно работил и в книгата пише верни неща. Сумата няма как да е число. Сумата е функция на x.
Трябва за да завършиш изследването да изследваш реда при x=1 и x=-1. Ще се окаже, че и двата реда са разходящи.

[ivelinkaaa]

може ли да те помоля да разпишеш получаването на R

[andro1379]

може ли да те помоля да разпишеш получаването на R

3.jpg (4.13 KiB) Прегледано 666 пъти

ами мисля че е това

[Flame]

може ли да те помоля да разпишеш получаването на R

Може , защо да ме може
Работим по Даламбер

[tex]a_n=\frac{x^(2n+1)}{2n+1}[/tex]
[tex]a_{n+1}=\frac{x^{1+2(n+1)}}{1+2(n+1)}[/tex]

[tex]l=\lim_{n_\to\infty}\|\frac{\frac{x^{1+2(n+1)}}{1+2(n+1)}}{ \frac{x^{(2n+1)}}{2n+1} } \|[/tex]

[tex]l=\lim_{n_\to\infty}\|\frac{(1+2n)x^{-2n+2(1+n)+1-1}}{3+2n}\|[/tex]

[tex]l=\lim_{n_\to\infty}\|\frac{(1+2n)x^2}{3+2n}\|[/tex]

[tex]l=\|x^2\|[/tex], сега критерия показва сходимост само ако [tex]l<1[/tex], от което следва:


[tex]\|x^2\|<1 \Leftrightarrow |x|<1 \Leftrightarrow -1<x< 1[/tex] При, което [tex]R=1[/tex]

[andro1379]

Ами и ти си правилно работил и в книгата пише верни неща. Сумата няма как да е число. Сумата е функция на x.
Трябва за да завършиш изследването да изследваш реда при x=1 и x=-1. Ще се окаже, че и двата реда са разходящи.

кои са тия два реда.и какво да иследвам в този интервал?

[andro1379]

може ли да те помоля да разпишеш получаването на R

Може , защо да ме може
Работим по Даламбер

[tex]a_n=\frac{x^(2n+1)}{2n+1}[/tex]
[tex]a_{n+1}=\frac{x^{1+2(n+1)}}{1+2(n+1)}[/tex]

[tex]l=\lim_{n_\to\infty}\|\frac{\frac{x^{1+2(n+1)}}{1+2(n+1)}}{ \frac{x^{(2n+1)}}{2n+1} } \|[/tex]

[tex]l=\lim_{n_\to\infty}\|\frac{(1+2n)x^{-2n+2(1+n)+1-1}}{3+2n}\|[/tex]

[tex]l=\lim_{n_\to\infty}\|\frac{(1+2n)x^2}{3+2n}\|[/tex]

[tex]l=\|x^2\|[/tex], сега критерия показва сходимост само ако [tex]l<1[/tex], от което следва:


[tex]\|x^2\|<1 \Leftrightarrow |x|<1 \Leftrightarrow -1<x< 1[/tex] При, което [tex]R=1[/tex]

ами тук Аn не е ли равно на 1/2х+1.т.е.ние не изследваме ли радиуса на сходимост само на коефицента на степенния ред An, т.е. без х-са

[Flame]

Ами и ти си правилно работил и в книгата пише верни неща. Сумата няма как да е число. Сумата е функция на x.
Трябва за да завършиш изследването да изследваш реда при x=1 и x=-1. Ще се окаже, че и двата реда са разходящи.

кои са тия два реда.и какво да иследвам в този интервал?

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}[/tex]

За [tex]x=-1[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}[/tex]
Степента в числителя винаги е нечетно число тогава:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{1^{2n+1}}{2n+1}[/tex]
[tex]-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}[/tex]

За [tex]x=1[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{2n+1}}{2n+1}[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}[/tex]

[Flame]

тук Аn не е ли равно на 1/2х+1.т.е.ние не изследваме ли радиуса на сходимост само на коефицента на степенния ред An, т.е. без х-са

Каквото съм писам всичко е вярно. Ами ако се получаваше:

[tex]|x^2|<4[/tex] тогава [tex]R=2[/tex]
[tex]x[/tex]- участва разбира се, нали именно за [tex]x[/tex] се търси къде редът е сходящ.

[andro1379]

Мерси много, мисля че разбрах