Локални екстремуми на ф-ция с 2 неизвестни

[Гост]

Здравейте, може ли някой да ми обясни/реши подробно следната задача:

Нека f(x, y) = x^3 + y^3 - 6xy + 1 . Изследвайте f за локални екстремуми

Благодаря предварително!

[Гост]

успях да я реша

[Knowledge Greedy]

От системата
[tex]\left| \begin{matrix}
f'_x=0\\
f'_y=0
\end{matrix}\right.[/tex]
получаваме критичните точки [tex](0;0)[/tex] и [tex](2;2).[/tex]
След това с проверка в [tex]\Delta (x,y)=f^{''}_{xx}f^{''}_{yy}-\left ( f^{''}_{xy} \right )^2[/tex] се уверяваме, че първата не е точка на локален екстремум (защото [tex]\Delta (0,0)<0[/tex]), а втората е точка на локален минимум - поради
[tex]\left |\begin{matrix}
\Delta (2,2)>0\\
f^{''}_{xx}(2;2)=12>0
\end{matrix}\right.[/tex]
Пресмятането даде [tex]f_{mi n}(x,y)=f(2, 2)=-7[/tex]

Локалният минимум 27 май 2014 y.PNG (27.22 KiB) Прегледано 3670 пъти

Точно както го даде и Wolfram Alpha

[X_EXPERT]

12.png (6.75 KiB) Прегледано 3656 пъти

Ще може ли да ми помогнете ?

[MENKA]

За втората задача-условието не е така-има два пъти х на трета степен.

[Knowledge Greedy]

1. [tex]y'=\frac{y}{x}+e^{\frac{y}{x}}[/tex]
Това е ОДУ с разделящи се променливи, въпреки че от условието не се вижда пряко.
Естествено е да положим [tex]\frac{y}{x}=t[/tex]
Диференцираме [tex]y=tx[/tex]
[tex]y'=t'x+t[/tex]
Заместваме в даденото
[tex]t'x+t=t+e^t[/tex]
И сега разделяме променливите, преминавайки към диференциален запис
[tex]\frac{dt}{dx }x=e^t[/tex]
Полученото [tex]\frac{dt}{e^{t}}=\frac{dx}{x}[/tex] интегрираме
[tex]\int \frac{dt}{e^{t}}=\int \frac{dx}{x}[/tex]
При наличие на логаритъм добавъчната константа може да се вкара като множител
[tex]e^{-t}=Cln|x|[/tex]
Логаритмуваме
[tex]t=-ln(Cln|x|)[/tex]
и правим обратното полагане [tex]y=-xln(Cln|x|)[/tex],
което е отговор на задачата.

2. Съгласно допълнителното уточнение за условието, търсим локалните екстремуми на функцията
[tex]f(x, y) = x^3 - y^3 -3x^2+3y + 8[/tex]

Решаваме системата
[tex]\left |\begin{matrix}
{f}'_x= 3x^2-6x=0\\
{f}'_y=- 3y^2+3=0
\end{matrix}\right.[/tex]
Критични точки са [tex](0;1), (0;-1),(2;1)[/tex] и [tex](2;-1).[/tex]

С вторите производни
[tex]{f}''_{xx}=6x-6[/tex]
[tex]{f}''_{yy}=-6y[/tex]
[tex]{f}''_{xy}=0[/tex]
определяме [tex]\Delta(x,y)={f}''_{xx}{f}''_{yy}-\left ( {f}''_{xx} \right )^2[/tex]
[tex]\Delta(x,y)=-36(x-1)y[/tex]

Извършваме проверките
[tex]\Delta(0;1)=36>0[/tex] [tex]\Rightarrow f(x, y)[/tex] има екстремум
[tex]\Delta(0;-1)<0[/tex] [tex]\Rightarrow f(x, y)[/tex] няма екстремум
[tex]\Delta(2;1)<0[/tex] [tex]\Rightarrow f(x, y)[/tex] няма екстремум
[tex]\Delta(2;-1)>0[/tex] [tex]\Rightarrow f(x, y)[/tex] има екстремум.

За вида на екстремумите за първата и четвъртата критична точка правим допълнителна проверка
[tex]{f}''_{xx}(0;1)=-6<0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] екстремумът на [tex]f(x, y)[/tex] е максимум.
[tex]{f}''_{xx}(2;-1)=6>0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] екстремумът на [tex]f(x, y)[/tex] е минимум.

Накрая изчисляваме локалните екстремуми
[tex]f_{max}(x, y) = f(0;1)=10[/tex]
[tex]f_{min}(x, y) = f(2;-1)=2[/tex]

[Гост]

Да се определят градиентът в точка М и локалните екстремуми на
функцията на две променливи:
z=x^2+xy+y^2+2x-2y+9
М(-2,4):