Висша математика 1

[kotapah]

Здравейте! Отчаяно търся някой, който разбира от математика и по - точно интеграли, производни, аналитична геометрия... Ако има такъв и е готов да помага да ми пише

[Zarrie]

Тук просто решаваме задачи в публикувани теми. Ако имаш нужда от помощ по някакъв въпрос или задача просто я публикувай

[Drenova]

Здравейте,може ли някой да реши следната задача:

Даден е триъгълник с върхове A(-1,2), B(3,4) и C(1,5). Намерете:
A) Дължините на страните на триъгълника.
Б) Дължините на медианите.
В) Координатите на медицентъра.
Г) Декартовите и общите уравнения на правите AB, BC и AC.
Д) Координатите на петите на височините.

[Гост]

Здравейте ! Може ли да ми помогнете с решението на тези задачи по метода на Гаус ? Благодаря ви безкрайно много

[ammornil]

Метод на елиминациите на Гаус за решаване на системи линейни уравнения
Елиминациите на Гаус за система с четири неизвестни се свеждат до следното:
(А) да направим първия елемент на първия ред на матрицата да е равен на едно.
(Б) да намерим такива числа, с които като умножим първия ред и го извадим от следващите три, в първия стълб за тези три реда да останат нули.
(В) да умножим ред две с такова число, че вторият му елемент да стане равен на едно.
(Г) да намерим такива числа, с които като умножим втория ред и го извадим от следващите два, във втория стълб за тези два реда да останат нули.
(Д) да умножим ред три с такова число, че третият му елемент да стане равен на едно.
(Е) да намерим такова число, с които като умножим третия ред и го извадим от последния, в третия стълб на последния ред да остане нула.
(Ж) От последния ред изразяваме четвъртото неизвестно и намире стоиността му, заместваме в третия ред - намираме третото неизвестно и така нагоре...


Решен пример ТУК

[ammornil]

(з)$\quad \begin{array}{|rrrrcr} x_{1}&+x_{2}&+3x_{3}&+4x_{4}&=&2 \\[6pt] 2x_{1}&+3x_{2}&-x_{3}&+x_{4}&=&3 \\[6pt] 3x_{1}&+x_{2}&-x_{3}&+x_{4}&=&4 \\[6pt] x_{1}&+2x_{2}&-x_{3}&+2x_{4}&=&5 \\[6pt] x_{1}&-x_{2}&-2x_{3}&+3x_{4}&=&2 \end{array} \\[12pt] \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&1&3&4&2 \\[6pt] 2&3&-1&1&3 \\[6pt] 3&1&-1&1&4 \\[6pt] 1&2&-1&2&5 \\[6pt] 1&-1&-2&3&2 \end{array} \end{Vmatrix} \\[6pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&1&3&4&2 \\[6pt] 1&-1&-2&3&2 \\[6pt] 1&2&-1&2&5 \\[6pt] 2&3&-1&1&3 \\[6pt] 3&1&-1&1&4 \end{array} \end{Vmatrix} \begin{array}{cccc} \cdot{}(-1)&\cdot{}(-1)&\cdot{}(-2)&\cdot{}(-3) \\[6pt] <<+ \\[6pt] & <<+ \\[6pt] && <<+ \\[6pt] &&& <<+ \end{array} \\[6pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&1&3&4&2 \\[6pt] 0&-2&-5&-1&0 \\[6pt] 0&1&-4&-2&3 \\[6pt] 0&1&-7&-7&-1 \\[6pt] 0&-2&-10&-11&-2 \end{array} \end{Vmatrix} \\[6pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&1&3&4&2 \\[6pt] 0&1&-4&-2&3 \\[6pt] 0&1&-7&-7&-1 \\[6pt] 0&-2&-5&-1&0 \\[6pt] 0&-2&-10&-11&-2 \end{array} \end{Vmatrix} \begin{array}{cccc} \\[6pt] \cdot{}(-1)&\cdot{}(+2)&\cdot{}(+2) \\[6pt] <<+ \\[6pt]& <<+ \\[6pt] && <<+ \end{array} \\[6pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&1&3&4&2 \\[6pt] 0&1&-4&-2&3 \\[6pt] 0&0&-3&-5&-4 \\[6pt] 0&0&-13&-5&6 \\[6pt] 0&0&-18&-15&4 \end{array} \end{Vmatrix} \begin{array}{cccc} \\[6pt] \\[6pt] \cdot{}(-\dfrac{1}{3})&& \\[6pt] \\[6pt]& \end{array} \\[6pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&1&3&4&2 \\[6pt] 0&1&-4&-2&3 \\[6pt] 0&0&1&\dfrac{5}{3}&\dfrac{4}{3} \\[6pt] 0&0&0&\dfrac{50}{3}&\dfrac{64}{3} \\[6pt] 0&0&0&15&28 \end{array} \end{Vmatrix} \\[12pt]$ Последните два реда представят следната система $ \begin{array}{|l} 25x_{4}= 32 \\[6pt] 15x_{4}= 28 \end{array} \\[12pt] $ Това е несъвместима система, което прави цялата оригинална система също несъвместима. Отговор: няма решения.

[ammornil]

(д)$\quad \begin{array}{|rrrrcr} x_{1}&+2x_{2}&-2x_{3}&+3x_{4}&=&2 \\[6pt] -x_{1}&+x_{2}&&+2x_{4}&=&-4 \\[6pt] 3x_{1}&-3x_{2}&+4x_{3}&+x_{4}&=&16 \\[6pt] 2x_{1}&+x_{2}&+x_{3}&-2x_{4}&=&9 \end{array} \\[12pt] \quad \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-2&3&2 \\[12pt] -1&1&0&2&-4 \\[12pt] 3&-3&4&1&16 \\[12pt] 2&1&1&-2&9 \end{array} \end{Vmatrix} \\[12pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-2&3&2 \\[12pt] -1&1&0&2&-4 \\[12pt] 3&-3&4&1&16 \\[12pt] 2&1&1&-2&9 \end{array} \end{Vmatrix} \begin{array}{rrr} \cdot{}(1)&\cdot{}(-3)&\cdot{}(-2)\\[12pt] <<+ \\[12pt] &<<+ \\[12pt] &&<<+ \end{array} \\[12pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-2&3&2 \\[12pt] 0&3&-2&5&-2 \\[12pt] 0&-9&10&-8&10 \\[12pt] 0&-3&5&-8&5 \end{array} \end{Vmatrix} \begin{array}{rrr} \\[12pt] \cdot{}(\dfrac{1}{3})\\[12pt] \quad \\[12pt]\quad \end{array} \\[12pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-2&3&2 \\[12pt] 0&1&-\dfrac{2}{3}&\dfrac{5}{3}&-\dfrac{2}{3} \\[12pt] 0&-9&10&-8&10 \\[12pt] 0&-3&5&-8&5 \end{array} \end{Vmatrix} \begin{array}{rrr} \\[12pt] \cdot{}(9)&\cdot{}(3)\\[12pt] <<+ \\[12pt] &<<+ \end{array} \\[12pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-2&3&2 \\[12pt] 0&1&-\dfrac{2}{3}&\dfrac{5}{3}&-\dfrac{2}{3} \\[12pt] 0&0&4&7&4 \\[12pt] 0&0&3&-3&3 \end{array} \end{Vmatrix} \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-2&3&2 \\[12pt] 0&1&-\dfrac{2}{3}&\dfrac{5}{3}&-\dfrac{2}{3} \\[12pt] 0&0&3&-3&3 \\[12pt] 0&0&4&7&4 \end{array} \end{Vmatrix} \begin{array}{rrr} \\[12pt] \\[12pt] \div{}3 \\[12pt] \end{array} \\[12pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-2&3&2 \\[12pt] 0&1&-\dfrac{2}{3}&\dfrac{5}{3}&-\dfrac{2}{3} \\[12pt] 0&0&1&-1&1 \\[12pt] 0&0&4&7&4 \end{array} \end{Vmatrix} \begin{array}{rrr} \\[12pt] \\[12pt] \cdot{}(-4) \\[12pt] <<+ \end{array} \\[12pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-2&3&2 \\[12pt] 0&1&-\dfrac{2}{3}&\dfrac{5}{3}&-\dfrac{2}{3} \\[12pt] 0&0&1&-1&1 \\[12pt] 0&0&0&11&0 \end{array} \end{Vmatrix} \begin{array}{rrr} \\[12pt] \\[12pt] \quad \\[12pt] \div{}(11) \end{array} \\[12pt] \sim \begin{Vmatrix} \begin{array}{rrrr|r} 1&2&-2&3&2 \\[12pt] 0&1&-\dfrac{2}{3}&\dfrac{5}{3}&-\dfrac{2}{3} \\[12pt] 0&0&1&-1&1 \\[12pt] 0&0&0&1&0 \end{array} \end{Vmatrix} \\[24pt] \Rightarrow \begin{array}{|rrrrcr} x_{1}&+2x_{2}&-2x_{3}&+3x_{4}&=&2 \\[6pt] &3x_{2}&-2x_{3}&+5x_{4}&=&-2 \\[6pt] &&x_{3}&-x_{4}&=&1 \\[6pt] &&&x_{4}&=&0 \end{array} \\[12pt]$ Можете ли да довършите задачата оттук? $\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

$ x_{4}=0 \\[12pt] x_{3}=1 +x_{4}= 1+0= 1 \\[12pt] x_{2}= \dfrac{-2 +2x_{3} -5x_{4}}{3}= \dfrac{-2 +2\cdot{}1 -5\cdot{}0}{3}= 0 \\[12pt] x_{1}= 2 -2x_{2} +2x_{3} -3x_{4}= 2 +2\cdot{}0 +2\cdot{}1-3\cdot{}0= 4 $

$$ \text{Отг.} \quad (4,\ 0,\ 1,\ 0) $$ $\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

Проверка: Замествайки със стойностите на намерените неизвестни обратно в системата получаваме верни числови равенства.

Предлагам Ви и начин за решаване на този тип проблем с Python, ако Ви представлява интерес - можете да ползвате NumPy пакет. $\\[6pt]$

Код: Избери целия код

import numpy as np

A = np.array([
    [1, 2, -2, 3, 2],
    [-1, 1, 0, 2, -4],
    [3, -3, 4, 1, 16],
    [2, 1, 1, -2, 9]
])
coefficients = A[:, :-1]
constants = A[:, -1]
solution = np.linalg.solve(coefficients, constants)
print(solution)


$\\[12pt] array([ 4.00000000e+00, 1.48029737e-16, 1.00000000e+00, -9.19578667e-17])\\[6pt]$ Като се вземе в предвид неточността (загубата на точност) в операция деление при компютрите, отговорът е същият $(4,\ 0,\ 1,\ 0) $