2 задачи

[justme.h]

1.По колко начина тридесет и две карти за игра могат да бъдат разпределени между
четирима играчи (например на белот)?
2.Докажете, че има цяло положително число, което се дели на 2016 и се записва
само с нули и единици (в десетичната бройна система)?
Някой ако успее да помогне.

[Knowledge Greedy]

2. Да разгледаме всички числа записани с нули и единици в десетична позиционна бройна система, които дават някакъв остатък r, при деление на [tex]2016[/tex], [tex]1\le r \le 2015[/tex] .
Но тези числа са безбройно много[tex]^{\ast}[/tex]. Следователно има две такива, които дават един и същи остатък. Тяхната разлика е от същия вид - от нули и единици, но тази разлика вече се дели на [tex]2016[/tex].

[pal702004]

Тяхната разлика е от същия вид - от нули и единици.

Не е така.
Но за всяко естествено число $n$, взаимнопросто с 10 съществува число (безброй много числа), записано само с единици, което се дели на $n$ - пряко следствие от малката теорема на Ферма (Ферма-Ойлер).
$2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$ Ясно е, че числото трябва да завършва на пет нули, за да се дели на $2^5$. Число, записано с $6k$ единици се дели на 7, трябва и да се дели на 9. Тоест, число от 18 единици и 5 нули (в този ред) удовлетворява условието. Което, разбира се, не е най-малкото.

Можем да "мултиплицираме" и числото 1001, което се дели на 7, но трябва да го запишем 9 пъти поред, за да се дели и на 9. И пак да добавим пет нули.

Най-малкото такова число е $111101111100000$, но това няма значение.

[pal702004]

2. Да разгледаме всички числа записани с нули и единици в десетична позиционна бройна система

Не с нули и единици, а само с единици.
$1,11,111,\cdots$
Тогава всичко е OK.

[Гост]

Може ли да се обосновете?

[Гост]

Защо е ясно, че трябва да завършва на 5 нули, за да се дели на 2^5?

[nevrodermit]

Задача 2: може да се обобщи по следния начин:
За всяко [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] съществува число, записано само с нули и единици, което се дели на [tex]n[/tex].
Доказателство: Разглеждаме числата [tex]1, 11, ...., \underbrace{11...1}_{n+1}[/tex]. Те са [tex]n+1[/tex] наброй. От принципа на Дирихле, поне две от тях дават еднакъв остатък при деление на [tex]n[/tex]. Нека тези две числа са [tex]\underbrace{11...1}_{k}[/tex] и [tex]\underbrace{11...1}_{l}[/tex] и [tex]1\le k<l\le n+1[/tex].
Това означава, че [tex]\underbrace{11...1}_{l}-\underbrace{11...1}_{k}[/tex] се дели на [tex]n[/tex].
Забелязваме, че горната разлика е равна на [tex]\underbrace{11...1}_{l-k}\underbrace{00...0}_{k}[/tex]. Очевидно, полученото число се дели на [tex]n[/tex] и е записано само с нули и единици.

Задача 1:Всеки играч получава по осем карти. Осем карти от 32 можем да изберем по [tex]{32 \choose 8}[/tex] начина (не се интересуваме от наредбата им). Остават 24 карти. Избираме 8 от тях по [tex]{24 \choose 8}[/tex]. Остават 16 карти, избираме 8 от тях по [tex]{16 \choose 8}[/tex]. Остават 8 и избираме 8 от тях по [tex]{8 \choose 8}[/tex]. Значи отговорът е [tex]{32 \choose 8}{24 \choose 8}{16 \choose 8}{8 \choose 8}[/tex] начина.

[Гост]

Тяхната разлика е от същия вид - от нули и единици.

Не е така.
Но за всяко естествено число $n$, взаимнопросто с 10 съществува число (безброй много числа), записано само с единици, което се дели на $n$ - пряко следствие от малката теорема на Ферма (Ферма-Ойлер).
$2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$ Ясно е, че числото трябва да завършва на пет нули, за да се дели на $2^5$. Число, записано с $6k$ единици се дели на 7, трябва и да се дели на 9. Тоест, число от 18 единици и 5 нули (в този ред) удовлетворява условието. Което, разбира се, не е най-малкото.

Можем да "мултиплицираме" и числото 1001, което се дели на 7, но трябва да го запишем 9 пъти поред, за да се дели и на 9. И пак да добавим пет нули.

Най-малкото такова число е $111101111100000$, но това няма значение.

Можеш ли да разясниш критерия за делене на 7?