Правилно ли смятам?

[Гост]

Дадена е f(x,y) = [tex]x^{2}e^{-x^{2} -3x -4y^{2}}[/tex]

Да се намерят точките, в които има локален екстремум.
При смятане на първите частни производни по x и по y получих за корени
x1 = 0, x2 = \frac{1}{2} , x3 = -2
y = 0

И след това започвам да смятам вторите частни производни, но получавам някакви огромни сметки. Има ли по кратък начин да се направи?

[Добромир Глухаров]

При $x=0$ първите частни производни са $0$ за всяко $y$. Следователно ординатнатната ос е "критична", но никоя точка от нея не е сама по себе си точка на локален екстремум, тъй като във всяка нейна околност има други точки от нея, в които $f(x,y)$ остава $0$.

Други критични точки са $A(\frac{1}{2},0)$ и $B(-2,0)$. $f(x,0)=x^2.e^{-x^2-3x}$. Когато $y$ остава $0$, в $A$ и $B$ $f$ има локални максимуми, тъй като вляво от тези точки $\frac{\partial f}{\partial x}>0$, а вдясно от тях $\frac{\partial f}{\partial x}<0$. Също така, когато $x$ остава равно на $\frac{1}{2}$ или $-2$, а $y$ се мени, в $A$ и $B$ $f$ достига максимум, тъй като за $y<0\Rightarrow\frac{\partial f}{\partial y}>0$, а за $y>0\Rightarrow\frac{\partial f}{\partial y}<0$. Следователно $A$ и $B$ са точки на локални максимуми.