Висша математика , математическа индукция

[Гост]

Докажете,че за всяко естествено число n е изпълнено:
á) arcctg 2 + arcctg 8 +.....+ arcctg 2(n^2) = arcctg[(n + 1)/n]

[Nathi123]

При n=2 твърдението не е вярно! ( Може да се докаже,като се използва ,че arctgx + arctg y = [tex]\pi + arctg \frac{x+y}{1-xy},когато x>0; xy>1)[/tex]
С метода на мат. индукция може да се докаже следното твърдение :
[tex]arctg\frac{1}{2}+arctg\frac{1}{8}+...+arctg\frac{1}{2n^{2}}=arctg \frac{n}{n+1}[/tex] В доказателството ще използвам тъждеството :
[tex]arctgx + arctgy = arctg \frac{x+y}{1-xy},[/tex] когато xy<1 (1)
Доказателство : При n =1 [tex]\Rightarrow arctg\frac{1}{2}=arctg\frac{1}{2}[/tex] - вярно твърдение
Да допуснем ,че при n твърдението е изпълнено т.е. [tex]\Rightarrow [tex] arctg\frac{1}{2}+arctg\frac{1}{8}+...+arctg\frac{1}{2n^{2}}=arctg \frac{n}{n+1}[/tex] Ще док.,че при n+1 твърдението също е изпълнено т.е.
[tex]arctg\frac{1}{2}+arctg\frac{1}{8}+...+arctg\frac{1}{2n^{2}} + arctg\frac{1}{2(n+1)^{2}}=arctg \frac{n+1}{n+2}[/tex]
От допускането[tex]\Rightarrow arctg\frac{1}{2}+arctg\frac{1}{8}+...+arctg\frac{1}{2n^{2}} + arctg\frac{1}{2(n+1)^{2}}=arctg \frac{n}{n+1}+arctg\frac{1}{2(n+1)^{2}} = artctg \frac{(2n^{2}+2n+1)(n+1)}{(2n^{3}+6n^{2}+5n+2)}[/tex]
(от (1) ); [tex]2n^{3}+6n^{2}+5n+2= (2n^{2}+2n+1)( n +2)[/tex]
[tex]\Rightarrow arctg\frac{1}{2}+arctg\frac{1}{8}+...+arctg\frac{1}{2n^{2}} + arctg\frac{1}{2(n+1)^{2}}= arctg\frac{n+1}{n+2}\Rightarrow[/tex]
твърдението е изпълнено и за n+1 [tex]\Rightarrow[/tex] твърдението е вярно за [tex]\forall n\in N[/tex].

[pal702004]

При n=2 твърдението не е вярно!

Вярно е. В стартовото съобщение събираемите са арусКОтангенси.

Но доказателството минава, понеже при $x>0,\; \operatorname{arcctg}(x)=\operatorname{arctg}\left(\frac 1 x\right)$.

Може да се докаже и без този преход.

[Nathi123]

Да! Първоначалното твърдение съм чела като arctg x . Не съм прочела правилно условието

[Nathi123]

[tex]arccotg2 + arccotg8 + ... + arccotg2n^{2} = arccotg\frac{n+1}{n}[/tex] . При n =1 [tex]\Rightarrow arccotg2 = arccotg2 - вярно .[/tex]
Да допуснем ,че твърд. е изпълнено за n т.е. [tex]arccotg2 + arccotg8 + ... + arccotg2n^{2} = arccotg\frac{n+1}{n}[/tex] .
Ще докажем,че [tex]arccotg2 + arccotg8 + ... + arccotg2n^{2} + arccotg 2(n+1)^{2}= arccotg\frac{n+2}{n+1}[/tex] .
От допускането [tex]\Rightarrow arccotg2 + arccotg8 + ... + arccotg2n^{2} + arccotg 2(n+1)^{2}= arccotg\frac{n+1}{n} + arccotg 2(n+1)^{2}=[/tex]
[tex]\frac{ \pi}{2} -arctg\frac{n+1}{n}-( \frac{ \pi}{2} -arctg2(n+1)^{2}) = \pi -(\pi +arctg\frac{\frac{n+1}{n}+2(n+1)^{2}}{1-\frac{n+1}{n}.2(n+1)^{2}}=-arctg(-\frac{n+1}{n+2})=arctg\frac{n+1}{n+2}=arccotg\frac{n+2}{n+1}[/tex].
В доказателството се използва и че arctgx e нечетна функция.