Двоен интеграл

[Гост]

Чрез теоремата за свеждане на двоен интеграл към повторен да се реши интеграла
[tex]\int[/tex][tex]\int[/tex](x+2xy)dxdy , G:x+y<4, y>[tex]x^{2}[/tex]-2 ,x>0

[mp3]

Първо разгледай областта и определи нейните граници.

[Гост]

Първо разгледай областта и определи нейните граници.

Този тип задачи ми е напълно неясен, дали бихте ми помогнали

[Добромир Глухаров]

$\iint_G(x+2xy)dxdy=\int_0^2dx\int_{x^2-2}^{4-x}(x+2y)dy=\int_0^2(xy+y^2)|_{x^2-2}^{4-x}dx=$

$=\int_0^2(x(4-x)-x(x^2-2)+(4-x)^2-(x^2-2)^2)dx=$

$=\int_0^2(4x-x^2-x^3+2x+16-8x+x^2-x^4+4x^2-4)dx=$

$=\int_0^2(-x^4-x^3+4x^2-2x+12)dx=$

$=\left(-\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}-x^2+12x\right)|_0^2=$

$=-\frac{2^5}{5}-\frac{2^4}{4}+\frac{4.2^3}{3}-2^2+12.2=-\frac{32}{5}-4+\frac{32}{3}-4+24=$

$=16+32\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=16+\frac{32.2}{15}=16+4\frac{4}{15}=20\frac{4}{15}$