Векторнозначна функция

[Гост]

Намерете допирателният вектор към линията, зададена с уравнението [tex]\gamma[/tex]:x= tcost , y=tsint , z=3t , в тази точка от линията, която се получава при t=3п/2
Бихте ли ми помогнали с този тип задачи?

[Добромир Глухаров]

$x=tcost;\ \dot{x}=cost-tsint$
$y=tsint;\ \dot{y}=sint+tcost$
$z=3t;\ \dot{z}=3$

$r(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$

$\dot{r}(t)=\dot{x}(t)\vec{i}+\dot{y}(t)\vec{j}+\dot{z}(t)\vec{k}=$

$=(cost-tsint)\vec{i}+(sint+tcost)\vec{j}+3\vec{k}$

$\dot{r}\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\left(cos{\frac{3\pi}{2}}-\frac{3\pi}{2}sin{\frac{3\pi}{2}}\right)\vec{i}+\left(sin{\frac{3\pi}{2}}+\frac{3\pi}{2}cos{\frac{3\pi}{2}}\right)\vec{j}+3\vec{k}$

$cos{\frac{3\pi}{2}}=0;\ sin{\frac{3\pi}{2}}=-1$

$\dot{r}\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\frac{3\pi}{2}\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$

[Гост]

Допирателният вектор в точката [tex]u(x(t);\, y(t); \, z(t))[/tex] от графиката на линията е колинеарен (еднопосочен) с вектора [tex]\dot{u} = (\dot{x}; \, \dot{y}; \, \dot{z})[/tex]. Понеже

[tex]\dot{x} = \cos t - t\sin t, \, \dot{y} = \sin t + t \cos t, \, \dot{z} = 3[/tex],

то [tex]\dot{u} = (\cos t - t \sin t; \, \sin t + t \cos t; \, 3)[/tex]. За [tex]t = \frac{3\pi}{2}[/tex] получаваме, че в допирната точка допирателният вектор е

[tex]\left ( \frac{3\pi}{2}; \, -1; \, 3 \right )[/tex].

[Гост]

Много благодаря
Бихте ли удари ли едно рамо за тази
Чрез теоремата за свеждане на двоен интеграл към повторен да се реши интеграла
∫∫(x+2xy)dxdy , G:x+y<4, y>[tex]x^{2}[/tex]-2 ,x>0

[Добромир Глухаров]

https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=97&t=20357&p=83197#p83197