Ред на Фурие - Верен ли е?

[глупчо]

Искам някой да ми каже правилно ли съм смятал?

furie.jpg (279.6 KiB) Прегледано 474 пъти

[Добромир Глухаров]

Имате две-три грешки.

Първо, $f(x)$ е дефинирана за $x\in(0;\pi)$, следователно, за да използвате формулите за $a_k$ и $b_k$, трябва да продължите дефиницията на $f(x)$ и за $x\in(-\pi;0)$. Това може да стане по различни начини:
а) Ако приемем, че $f(x)$ е четна: $f(x)=\begin{cases}1;-\pi<x<-\frac{\pi}{2}\\0;-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\\1;\frac{\pi}{2}<x<\pi\end{cases}$
б) Ако приемем, че $f(x)$ е нечетна: $f(x)=\begin{cases}-1;-\pi<x<-\frac{\pi}{2}\\0;-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\\1;\frac{\pi}{2}<x<\pi\end{cases}$
в) Ако вземем само интервала $x\in(0;\pi)$ и го продължим вляво и вдясно: $f(x)=\begin{cases}0;-\pi<x<-\frac{\pi}{2}\\1;-\frac{\pi}{2}<x<0\\0;0<x<\frac{\pi}{2}\\1;\frac{\pi}{2}<x<\pi\end{cases}$

Второ, предвид горното при пресмятане на $a_0,a_k,b_k$ трябва да се разглежда целия интервал на интегриране от $-\pi$ до $\pi$.
Така например, ако приемем случая от подточка в) от Първо, $a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\frac{\pi}{2}}^01.dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}1.dx\right)=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=1$
$a_k=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\frac{\pi}{2}}^0coskxdx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}coskxdx\right)=\frac{1}{k\pi}\left(sinkx|_{-\frac{\pi}{2}}^0+sinkx|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\right)=\frac{1}{k\pi}\left(0-(-sin{\frac{k\pi}{2}})+0-sin{\frac{k\pi}{2}}\right)=0$
$b_k=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\frac{\pi}{2}}^0sinkxdx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}sinkxdx\right)=\frac{1}{k\pi}\left(-coskx|_{-\frac{\pi}{2}}^0-coskx|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\right)=\frac{1}{k\pi}(-1+2cos{\frac{k\pi}{2}}-cosk\pi)$
$b_{2l}=\frac{1}{2l\pi}(-1+2cos{\frac{2l\pi}{2}}-cos2l\pi)=\frac{1}{2l\pi}(-1+2.(-1)^l-1)=\frac{(-1)^l-1}{l\pi}$
$b_{2l+1}=\frac{1}{(2l+1)\pi}(-1+2cos{\frac{(2l+1)\pi}{2}}-cos(2l+1)\pi)=\frac{1}{(2l+1)\pi}(-1+2.0-(-1))=0$

$f(x)\sim\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty}(a_kcoskx+b_ksinkx)=\frac{1}{2}+\sum_{l=1}^{\infty}\frac{(-1)^l-1}{l\pi}sin2lx=\frac{1}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-2}{(2n+1)\pi}sin(2(2n+1)x)$

За другите два случая от Първо (четна и нечетна функция), може да опитате сам да намерите $a_0,a_k,b_k$, съответно тригонометричния ред, като внимавате при интегрирането: когато $k$ влиза под знака на диференциала, наистина пред интеграла делим на $k$, но $k$ си се запазва в аргумента на тригонометричната функция.

[KOPMOPAH]

Грамотно написано и естетично оформено, БРАВО!