Аналитична геометрия

[Гост]

Може ли малко помощ със следната задача?

Даден е паралелепипед [tex]ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }[/tex] като [tex]AB = 3, AD = 1, AA_{1 } = 2[/tex] и [tex]\angle BAD = \angle BAA_{1 } = \angle DAA_{1 } = 60^\circ[/tex]. Да се намери дължината на най-късата отсечка, чиито краища лежат на правите [tex]AB[/tex] и [tex]CB_{1 }[/tex].

Така ясно ми е, че правите [tex]AB[/tex] и [tex]CB_{1 }[/tex] са кръстосани и дължината най-късата отсечка между тези две прави е именно ос-отсечката, т.е. тази отсечка, която е едновременно перпендикулярна на двете прави [tex]AB[/tex] и [tex]CB_{1 }[/tex]. Но не знам как да изразя уравненията на двете прави и оттам да намеря точните координати на точките, в които отсечката е перпендикулярна двете прави? Ще съм благодарен, ако помогнете.

[matst]

Не ми е ясно дали е необходимо да се реши тази задача
със средствата на аналитичната геометрия
или със средствата на училищната стереометрия.

Като за начало да нахвърлим едно стереометрично решение.
(виж чертежа)

т. [tex]F \in AB[/tex]
т. [tex]G \in AA_1[/tex]
така, че равнина [tex]\alpha = DFG[/tex],
[tex]\alpha \perp AB[/tex]

[tex]H = \alpha \cup A_1B_1[/tex]
[tex]I = \alpha \cup D_1C_1[/tex]

правата [tex]CB_1[/tex] се проектира в [tex]DH[/tex]

[tex]J \in DH[/tex] така, че [tex]FJ \perp DH[/tex] (така [tex]FJ[/tex] е перпендикуляр към проекцията на [tex]CB_1[/tex])
[tex]\implies FJ =[/tex] търсеното разстояние
(https://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=5783)

..................................

прав. триъг. [tex]\triangle AFD[/tex]
е с [tex]\angle A = 60[/tex]
[tex]AD=1[/tex]
[tex]\implies AF= 1/2[/tex]

прав. триъг. [tex]\triangle AFG[/tex]
е с [tex]\angle A = 60[/tex]
[tex]AF=1/2[/tex]
[tex]\implies AG=1, FG=\sqrt(3)/2[/tex]

[tex]\implies[/tex]
(1) [tex]G[/tex] е среда на [tex]AA_1[/tex]
[tex]\triangle AFG = \triangle A_1HG[/tex]
(2) [tex]\triangle ADG[/tex]
[tex]AD=AG, \angle A = 60[/tex]
[tex]\implies \triangle ADG[/tex] е равностранен
[tex]\implies DG=1[/tex]

[tex]\implies[/tex] от cos - т-ма за [tex]\triangle DFG[/tex]
[tex]\cos F = ...[/tex]

[tex]\implies FH=2FG[/tex]
[tex]\implies FH=sqrt(3)[/tex]

в [tex]\triangle DFH[/tex] са известни [tex]\cos F[/tex], [tex]DF[/tex] и [tex]FH[/tex]
изчислявам [tex]DH[/tex]
след това се изчислява и височината [tex]FJ[/tex].