Задача с успоредник в евклидово пространство

[DaniGeorgiev]

Здравейте,

отново ми трябва помощ със задача, а ето я и нея:

Нека ABCD е успоредник. Ако е известно, че [tex]\vec{AB} = 2\vec{a} - \vec{b}[/tex] и [tex]\vec{AD} = \vec{a} + 3\vec{b}[/tex], като [tex]|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 2[/tex] и [tex]|\vec{BD}| = 7[/tex], да се намерят [tex]\angle(\vec{a}, \vec{b})[/tex] и [tex]|\vec{AC}|[/tex].

Ясно ми е, че е много проста, но се ровя из учебника (където дори няма задачи за решаване), из две ръководства, търся в интернет, само че намирам главно суха теория, която почти не ми помага.

Моля за някакви напътствия!

[Knowledge Greedy]

За успоредника [tex]ABCD[/tex] е характерно, че [tex]\vec{AB}= \vec{DC}[/tex] [tex](\ast)[/tex]
а също [tex]\vec{BD}=\vec{AD}-\vec{AB}[/tex] (правило на триъгълника), откъдето
[tex]\vec{BD}= - \vec{a}+3\vec{b}[/tex]
Понеже е дадено [tex]\left | \vec{BD} \right |=7[/tex], включваме го в скаларния квадрат [tex]\vec{BD}^2 =\left (- \vec{a}+3\vec{b} \right )^2[/tex]
и ако означим [tex]\angle ( \vec{a};\vec{b})=\varphi[/tex], от горното имаме [tex]\vec{a}^2-6\vec{a}\vec{b} +9\vec{b} ^2=49[/tex]
[tex]\left |\vec{a} \right |^2-6\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |cos\varphi+9\left | \vec{b} \right | ^2=49[/tex]
Заместваме и с
[tex]\left | \vec{a} \right |=3[/tex]
и
[tex]\left | \vec{b} \right |=2[/tex]
Получаваме [tex]\fbox{cos\varphi=-\frac{1}{18}}[/tex]
(За протокола , щом косинусът е отрицателен - ъгълът [tex]\varphi[/tex] е по-голям от прав, т.е. тъп.)
За вектора [tex]\vec{AC}[/tex] повтаряме процедурата, само че [tex]\vec{AC}=\vec{AD}+\vec{DC}[/tex] и използваме началното [tex](\ast)[/tex]
Сега [tex]\vec{AC}=3 \vec{a}+2\vec{b}[/tex]
и с техниката на скаларния квадрат
[tex]\left |\vec{AC} \right |=\sqrt{93}[/tex]

[DaniGeorgiev]

Здравейте!

Благодаря за съдействието и изчерпателния отговор. Бих искал да попитам първо защо при [tex]\vec{BD}[/tex] се получава [tex]-\vec{a}+3\vec{b}[/tex], а не [tex]-\vec{a}+4\vec{b}[/tex]? Също така, при скаларния квадрат, когато се замести [tex]\vec{BD}[/tex] с дължината ли се замества (тоест 7) и ако да, защо се получава 47, а не 49? И още нещо, как с техниката за скаларния квадрат се получи [tex]\sqrt{93}[/tex]? Това, което направих аз е:
[tex]\vec{AC}^{2} = (3\vec{a}+2\vec{b})^{2}[/tex]; От тук получих, че [tex]\vec{AC} = \sqrt{61}[/tex], понеже намерих, че cos е [tex]-\frac{1}{2}[/tex]

Благодаря Ви отново за отзоваването!

[Knowledge Greedy]

Възможно е да съм направил технически грешки, съжалявам!
Но [tex]\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}[/tex], докато в началото [tex]\vec{BD}[/tex] e разлика на същите вектори. Не случайно споменавам "Правило на триъгълника". Виж кое е събираемо, кои са умаляемо, умалител, разлика. Съвсем не случайно напомням [tex](\ast)[/tex] и размяна на представители на един и същ вектор.

[DaniGeorgiev]

Няма проблеми, просто не бях сигурен дали грешката е в мен. Отново Ви благодаря изключително много за помощта и най-вероятно ще се виждаме отново

[inveidar]

Ето така трябва да се формулират задачите в планиметрията. Задача за успоредник в Евклидово пространство.

[Гост]

Ето така трябва да се формулират задачите в планиметрията. Задача за успоредник в Евклидово пространство.

Здравейте,

Радвам се, че съм Ви разсмял по някакъв (няобясним за мен, разбира се) начин, но с цялото си уважение, не виждам по какъв начин постът Ви отговаря на зададения въпрос в темата. Учим се постоянно, докато сме живи, а и най-вероятно имате по-важни неща в ежедневието от това, да се подигравате на учащите.

Задачата е от курсова работа, която имам да правя, на тема "Евклидово пространство". Съжалявам, че не използвах най-срещаните изрази тук като заглавие - "помощ", "решете ми тази задача" или "това правилно ли го реших" и т.н.

Въпреки това, ще Ви пожелая хубав и успешен ден и дано намерите по-пълноценни неща за правене!

[inveidar]

Съжалявам, смехът ми беше по повод на друг пост. Дано не съм ви засегнал много.