Корен n-ти

[Гост]

Как се доказва: корен n-ти от число че клони към 1?

[ptj]

[tex]b_n=\sqrt[n]{a}[/tex], [tex]a>1[/tex]
Редицата [tex]\{b_n\}[/tex] е монотонно намаляваща и ограничена отдолу от [tex]1[/tex] , сл. е сходяща (има граница).

Нека [tex]\lim_{n \to \infty}b_n=l[/tex],
след извършване на граничен преход се получава

[tex]l^{+\infty}=a[/tex]

Знаем [tex]l\ge1[/tex], заради ограничението отдолу.

Но ако [tex]l>1[/tex] ще е изпълнено [tex]l^{+\infty}=+\infty[/tex], т.е. единствената възможност е [tex]l=1[/tex]

------------------------------
Аналогичен е случая когато [tex]0<a<1[/tex] - тогава редицата [tex]\{b_n\}[/tex] e монотонно растяща и ограничена отгоре от 1.

П.П. Предполагам можете да докажете [tex]p>q>1 : \lim_{n \to \infty}\bigg(\frac{p}{q}\bigg)^n=+\infty[/tex]

[Knowledge Greedy]

Интересно, как дали такива разсъждения могат да се направят за [tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=1[/tex]